იპოვეთ ფუნქციის გრადიენტი წერტილის მაგალითზე. ფუნქციის გრადიენტი

თუ სივრცის თითოეულ წერტილში ან სივრცის ნაწილზე განსაზღვრულია გარკვეული სიდიდის მნიშვნელობა, მაშინ ნათქვამია, რომ მოცემულია ამ სიდიდის ველი. ველს სკალარული ეწოდება, თუ განხილული მნიშვნელობა სკალარულია, ე.ი. კარგად ხასიათდება მისი რიცხვითი მნიშვნელობით. მაგალითად, ტემპერატურის ველი. სკალარული ველი მოცემულია u = /(M) წერტილის სკალარული ფუნქციით. თუ სივრცეში შემოტანილია დეკარტის კოორდინატთა სისტემა, მაშინ არსებობს სამი ცვლადის ფუნქცია x, yt z - M წერტილის კოორდინატები: განმარტება. სკალარული ველის დონის ზედაპირი არის წერტილების ერთობლიობა, რომლებშიც ფუნქცია f(M) იღებს იგივე მნიშვნელობას. დონის ზედაპირის განტოლება მაგალითი 1. იპოვნეთ სკალარული ველის დონეების ზედაპირები ვექტორის ანალიზი სკალარული ველის დონის ზედაპირები და დონის ხაზები სკალარული ველის მიმართულების წარმოებული წარმოებული გრადიენტი ძირითადი გრადიენტის თვისებები გრადიენტის უცვლელი განმარტება გრადიენტის გაანგარიშების წესები -4 დონის გაანგარიშებით ზედაპირის განტოლება იქნება. ეს არის სფეროს (Ф 0) განტოლება, რომელიც ორიენტირებულია საწყისზე. სკალარული ველი ეწოდება ბრტყელს, თუ ველი ერთნაირია რომელიმე სიბრტყის პარალელურად ყველა სიბრტყეში. თუ მითითებული სიბრტყე მიღებულია როგორც xOy სიბრტყე, მაშინ ველის ფუნქცია არ იქნება დამოკიდებული z კოორდინატზე, ანუ ის იქნება მხოლოდ x და y არგუმენტების ფუნქცია და ასევე მნიშვნელობა. დონის ხაზის განტოლება - მაგალითი 2. იპოვეთ სკალარული ველის დონის ხაზები დონის ხაზები მოცემულია განტოლებებით c = 0-ზე ვიღებთ წყვილ ხაზებს, ვიღებთ ჰიპერბოლების ოჯახს (ნახ. 1). 1.1. მიმართულების წარმოებული იყოს სკალარული ველი, რომელიც განისაზღვრება სკალარული ფუნქციით u = /(Af). ავიღოთ წერტილი Afo და ავირჩიოთ I ვექტორით განსაზღვრული მიმართულება. ავიღოთ სხვა წერტილი M ისე, რომ ვექტორი M0M იყოს ვექტორის 1-ის პარალელურად (ნახ. 2). MoM ვექტორის სიგრძე A/-ით ავღნიშნოთ, ხოლო D1 გადაადგილების შესაბამისი ფუნქციის /(Af) - /(Afo) ზრდა Di-ით. თანაფარდობა განსაზღვრავს სკალარული ველის ცვლილების საშუალო სიჩქარეს სიგრძის ერთეულზე მოცემულ მიმართულებამდე.მოდით, ახლა ნულისკენ მივისწრაფვით ისე, რომ ვექტორი М0М მუდმივად დარჩეს I ვექტორის პარალელურად. განმარტება. თუ D/O-სთვის არსებობს მიმართების (5) სასრული ზღვარი, მაშინ მას ეწოდება ფუნქციის წარმოებული მოცემულ წერტილში Afo მოცემულ I მიმართულებაზე და აღინიშნება სიმბოლო zr!^. ასე რომ, განსაზღვრებით, ეს განსაზღვრება არ არის დაკავშირებული კოორდინატთა სისტემის არჩევასთან, ანუ მას აქვს **ვარიანტი ხასიათი. მოდით ვიპოვოთ წარმოებულის გამოხატულება დეკარტის კოორდინატთა სისტემაში მიმართულების მიმართ. ფუნქცია / იყოს დიფერენცირებადი წერტილში. განვიხილოთ მნიშვნელობა /(Af) წერტილში. მაშინ ფუნქციის მთლიანი ზრდა შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგი სახით: სადაც და სიმბოლოები ნიშნავს, რომ ნაწილობრივი წარმოებულები გამოითვლება Afo წერტილში. აქედან გამომდინარე, აქ სიდიდეები jfi, ^ არის ვექტორის მიმართულების კოსინუსები. ვინაიდან ვექტორები MoM და I თანამიმართულია, მათი მიმართულების კოსინუსები იგივეა: წარმოებულები, წარმოებულები არიან ფუნქციის და კოორდინატთა ღერძების მიმართულებების გასწვრივ გარე nno- მაგალითი 3. იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული წერტილისკენ. ვექტორს აქვს სიგრძე. მისი მიმართულების კოსინუსები: (9) ფორმულით გვექნება ის ფაქტი, რომ ნიშნავს, რომ სკალარული ველი მოცემულ წერტილში ასაკის მოცემული მიმართულებით - ბრტყელი ველისთვის, წარმოებული I მიმართულებით წერტილში გამოითვლება ფორმულით. სადაც a არის I ვექტორის მიერ წარმოქმნილი კუთხე Oh ღერძით. Zmmchmm 2. ფორმულა (9) გამოთვლის წარმოებულს I მიმართულებით მოცემულ წერტილში Afo ძალაში რჩება მაშინაც კი, როდესაც M წერტილი მიისწრაფვის Mo წერტილისკენ მრუდის გასწვრივ, რომლის ვექტორი I არის ტანგენტი PrISchr 4 წერტილში. გამოთვალეთ სკალარული ველის წარმოებული Afo(l, 1) წერტილში. კუთვნილი პარაბოლას ამ მრუდის მიმართულებით (აბსცისის გაზრდის მიმართულებით). პარაბოლის მიმართულება წერტილში არის პარაბოლის ტანგენსის მიმართულება ამ წერტილში (სურ. 3). პარაბოლას ტანგენსმა აფოს წერტილში ჩამოაყალიბოს კუთხე Ox ღერძთან. მაშინ საიდან ტანგენტის კოსინუსების მიმართულება მოდით გამოვთვალოთ მნიშვნელობები და წერტილში. ჩვენ გვაქვს ახლა ფორმულით (10) ვიღებთ. იპოვეთ სკალარული ველის წარმოებული წრის მიმართულებით წერტილში წრის ვექტორულ განტოლებას აქვს ფორმა. ვპოულობთ წრის ტანგენსის m ერთეულ ვექტორს. წერტილი შეესაბამება პარამეტრის მნიშვნელობას. სკალარული ველის გრადიენტი მოდით, სკალარული ველი განისაზღვროს სკალარული ფუნქციით, რომელიც ითვლება დიფერენცირებად. განმარტება. სკალარული ველის გრადიენტი » მოცემულ წერტილში M არის ვექტორი, რომელიც აღინიშნება სიმბოლოთი grad და განისაზღვრება ტოლობით. ცხადია, რომ ეს ვექტორი დამოკიდებულია როგორც ფუნქციაზე / ასევე M წერტილზე, რომელზეც გამოითვლება მისი წარმოებული. მოდით 1 იყოს ერთეული ვექტორი მიმართულებით მაშინ მიმართულების წარმოებულის ფორმულა შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგნაირად: . ამრიგად, u ფუნქციის წარმოებული 1 მიმართულებით უდრის u(M) ფუნქციის გრადიენტის სკალარული ნამრავლის და I მიმართულების 1° ვექტორის ერთეულს. 2.1. გრადიენტის თეორემა 1. სკალარული ველის გრადიენტი პერპენდიკულარულია დონის ზედაპირზე (ან დონის ხაზთან, თუ ველი ბრტყელია). (2) მოდით დავხატოთ დონის ზედაპირი u = const თვითნებური M წერტილის გავლით და ავირჩიოთ გლუვი მრუდი L ამ ზედაპირზე, რომელიც გადის M წერტილში (ნახ. 4). მოდით ვიყო ვექტორი L მრუდზე ტანგენტი M წერტილში. ვინაიდან დონის ზედაპირზე u(M) = u(M|) ნებისმიერი წერტილისთვის Mj ∈ L, მაშინ მეორე მხრივ, = (გრადუ, 1°) . Ამიტომაც. ეს ნიშნავს, რომ ვექტორები grad და და 1° ორთოგონალურია. ამრიგად, ვექტორული grad და არის ორთოგონალური ნებისმიერი დონის ზედაპირის ტანგენტის მიმართ M წერტილში. ამრიგად, ის ორთოგონალურია თავად დონის ზედაპირის მიმართ M წერტილში. თეორემა 2. გრადიენტი მიმართულია ველის ფუნქციის გაზრდის მიმართულებით. ადრე დავამტკიცეთ, რომ სკალარული ველის გრადიენტი მიმართულია ნორმალურის გასწვრივ დონის ზედაპირზე, რომელიც შეიძლება იყოს ორიენტირებული ან u(M) ფუნქციის გაზრდაზე ან მის შემცირებაზე. აღვნიშნოთ ti(M) ფუნქციის გაზრდის მიმართულებით ორიენტირებული დონის ზედაპირის ნორმალური n-ით და ვიპოვოთ u ფუნქციის წარმოებული ამ ნორმალის მიმართულებით (სურ. 5). ჩვენ გვაქვს წლიდან ნახ. 5-ის პირობის მიხედვით და შესაბამისად ვექტორული ანალიზი სკალარული ველი ზედაპირები და დონის ხაზები მიმართულების წარმოებული წარმოებული სკალარული ველის გრადიენტი გრადიენტის ძირითადი თვისებები გრადიენტის უცვლელი განმარტება გრადიენტის გამოთვლის წესები აქედან გამომდინარეობს, რომ გრადი და მიმართულია იგივე მიმართულება, რაც ჩვენ ავირჩიეთ ნორმალური n, ანუ u(M) ფუნქციის გაზრდის მიმართულებით. თეორემა 3. გრადიენტის სიგრძე უდრის უდიდეს წარმოებულს ველის მოცემულ წერტილში მიმართულების მიმართ, (აქ max $ აღებულია ყველა შესაძლო მიმართულებით მოცემულ M წერტილში წერტილისკენ). ჩვენ გვაქვს სად არის კუთხე ვექტორებს შორის 1 და grad n. რადგან ყველაზე დიდი მნიშვნელობა არის მაგალითი 1. იპოვეთ სკალარული ველის უდიდესი იმონიონის მიმართულება წერტილში და ასევე ამ უდიდესი ცვლილების სიდიდე მითითებულ წერტილში. სკალარული ველის უდიდესი ცვლილების მიმართულება მითითებულია ვექტორით. ჩვენ გვაქვს ასე ეს ვექტორი განსაზღვრავს ველში ყველაზე დიდი ზრდის მიმართულებას წერტილამდე. ველში ყველაზე დიდი ცვლილების მნიშვნელობა ამ ეტაპზე არის 2.2. გრადიენტის უცვლელი განმარტება სიდიდეებს, რომლებიც ახასიათებს შესასწავლი ობიექტის თვისებებს და არ არის დამოკიდებული კოორდინატთა სისტემის არჩევანზე, მოცემული ობიექტის ინვარიანტები ეწოდება. მაგალითად, მრუდის სიგრძე ამ მრუდის უცვლელია, მაგრამ მრუდის ტანგენსის კუთხე x-ღერძთან არ არის უცვლელი. სკალარული ველის გრადიენტის ზემოაღნიშნული სამი თვისებიდან გამომდინარე, შეგვიძლია მივცეთ გრადიენტის შემდეგი უცვლელი განმარტება. განმარტება. სკალარული ველის გრადიენტი არის ვექტორი, რომელიც მიმართულია ნორმალური ზედაპირის გასწვრივ ველის ფუნქციის გაზრდის მიმართულებით და აქვს სიგრძე უდრის ყველაზე დიდ მიმართულების წარმოებულს (მოცულ წერტილში). მოდით იყოს ერთეული ნორმალური ვექტორი მიმართული ველის გაზრდის მიმართულებით. შემდეგ მაგალითი 2. იპოვეთ მანძილის გრადიენტი - რომელიღაც ფიქსირებული წერტილი და M(x,y,z) - მიმდინარე. 4 გვაქვს სად არის ერთეული მიმართულების ვექტორი. გრადიენტის გამოთვლის წესები, სადაც c არის მუდმივი რიცხვი. ზემოაღნიშნული ფორმულები მიიღება უშუალოდ გრადიენტისა და წარმოებულების თვისებების განსაზღვრებიდან. პროდუქტის დიფერენციაციის წესით მტკიცებულება თვისების მტკიცებულების მსგავსია, მოდით F(u) იყოს დიფერენცირებადი სკალარული ფუნქცია. შემდეგ 4 გრადიენტის განმარტებით, ჩვენ გვაქვს კომპლექსური ფუნქციის დიფერენციაციის წესის გამოყენება მარჯვენა მხარეს მდებარე ყველა ტერმინზე. კერძოდ, ფორმულა (6) ფორმულის სიბრტყიდან გამომდინარეობს ამ სიბრტყის ორ ფიქსირებულ წერტილამდე. განვიხილოთ თვითნებური ელიფსი Fj და F კერებით და დაამტკიცეთ, რომ ნებისმიერი სინათლის სხივი, რომელიც გამოდის ელიფსის ერთი ფოკუსიდან, ელიფსიდან ასახვის შემდეგ, შედის მის მეორე ფოკუსში. (7) ფუნქციის დონის ხაზებია ვექტორული ანალიზი სკალარული ველი ზედაპირები და დონის ხაზები მიმართულების წარმოებული წარმოებული სკალარული ველის გრადიენტი გრადიენტის ძირითადი თვისებები გრადიენტის უცვლელი განმარტება გრადიენტის გამოთვლის წესები განტოლებები (8) აღწერს ელიფსების ოჯახს წერტილებში ფოკუსებით ვ) და ფჯ. მაგალითი 2-ის შედეგის მიხედვით გვაქვს და რადიუსის ვექტორები. გამოყვანილია P(x, y) წერტილამდე F| კერებიდან და Fj და, შესაბამისად, დევს ამ რადიუს ვექტორებს შორის კუთხის ბისექტორზე (ნახ. 6). Tooromo 1-ის მიხედვით, გრადიენტი PQ პერპენდიკულარულია ელიფსის (8) წერტილზე. ამიტომ, სურ.6. ელიფსის ნორმა (8) ნებისმიერ წერტილში ყოფს კუთხეს ამ წერტილამდე მიყვანილ რადიუსის ვექტორებს შორის. აქედან და იქიდან, რომ დაცემის კუთხე არეკვლის კუთხის ტოლია, ვიღებთ: მისგან არეკლილი ელიფსის ერთი ფოკუსიდან გამომავალი სინათლის სხივი, აუცილებლად მოხვდება ამ ელიფსის მეორე ფოკუსში.

განვიხილოთ სკალარული ფუნქციის u წარმოებულის ფორმულა λ მიმართულებით

მეორე ფაქტორები არის λ სხივის გასწვრივ მიმართული ერთეული ვექტორის პროგნოზები.

ავიღოთ ვექტორი, რომლის პროგნოზები კოორდინატთა ღერძებზე იქნება ნაწილობრივი წარმოებულების მნიშვნელობები არჩეულ t. Р(x, y, z).

ამ ვექტორს ეწოდება u (x, y, z) ფუნქციის გრადიენტი და აღინიშნება gradu ან

განმარტება. u(x, y, z) ფუნქციის გრადიენტი არის ვექტორი, რომლის პროგნოზები არის ამ ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულების მნიშვნელობები, ე.ი.

მოცემული მიმართულებით ფუნქციის წარმოებული ტოლია ფუნქციის გრადიენტისა და ამ მიმართულების ერთეული ვექტორის სკალარული ნამრავლის.

სკალარული პროდუქტის გაფართოებით, ჩვენ ვიღებთ

,

სადაც φ არის კუთხე ვექტორს შორის გრადუსიდა სხივი λ.

აღწევს უმაღლეს ღირებულებას

ასე რომ, წარმოებულის უდიდესი მნიშვნელობაა მოცემულ P წერტილში და მიმართულება grad u ემთხვევა P წერტილიდან გამომავალი სხივის მიმართულებას, რომლის გასწვრივ ფუნქცია ყველაზე სწრაფად იცვლება.

დავამყაროთ კავშირი ფუნქციის გრადიენტის მიმართულებასა და სკალარული ველის დონის ზედაპირებს შორის.

თეორემა. u (x,y,z) ფუნქციის გრადიენტი თითოეულ წერტილში ემთხვევა სკალარული ველის ნორმალურ ზედაპირს, რომელიც გადის ამ წერტილში.

მტკიცებულება. ჩვენ ვირჩევთ თვითნებურ t R 0 (x 0, y 0, z 0).

ზედაპირის განტოლება

დონე გადის

ე.ი. u(x,y,z)=,

u 0 \u003d u (x 0, y 0, z 0)

ამ ზედაპირის ნორმალურის განტოლება, t.-ში იქნება

აქედან გამომდინარეობს, რომ მიმართული ნორმალური ვექტორი, რომელსაც აქვს პროგნოზები , არის u (x, y, z) ფუნქციის გრადიენტი t P 0 , p.t.d.

ამრიგად, გრადიენტი თითოეულ წერტილში პერპენდიკულარულია მოცემულ წერტილში გამავალი დონის ზედაპირის ტანგენტის სიბრტყეზე, ე.ი. მისი პროექცია ამ სიბრტყეზე არის ნული.

აქედან გამომდინარე:მოცემულ წერტილში გამავალი დონის ზედაპირის ტანგენსი ნებისმიერი მიმართულებით ტოლია ნულის ტოლი.

გრადიენტური ფუნქციის ძირითადი თვისებები:

2) გრადი , სადაც C - კონსტ

4) გრადი

ყველა თვისება დადასტურებულია ფუნქციის გრადიენტის განსაზღვრის გამოყენებით.

მაგალითი. M(1, 1, 1) წერტილში იპოვეთ სკალარული ველის უდიდესი ცვლილების მიმართულება და ამ ცვლილების სიდიდე.

1 0 გრადიენტი მიმართულია ნორმალურის გასწვრივ დონის ზედაპირზე (ან დონის ხაზისკენ, თუ ველი ბრტყელია).

2 0 გრადიენტი მიმართულია ველის ფუნქციის გაზრდის მიმართულებით.

3 0 გრადიენტის მოდული უდრის უდიდეს წარმოებულს ველის მოცემულ წერტილში მიმართულებით:

ეს თვისებები იძლევა გრადიენტის უცვლელ მახასიათებელს. ისინი ამბობენ, რომ gradU ვექტორი მიუთითებს მოცემულ წერტილში სკალარული ველის უდიდესი ცვლილების მიმართულებასა და სიდიდეს.

შენიშვნა 2.1.თუ ფუნქცია U(x,y) არის ორი ცვლადის ფუნქცია, მაშინ ვექტორი

დევს ოქსი სიბრტყეში.

დავუშვათ U=U(x,y,z) და V=V(x,y,z) ფუნქციები დიფერენცირებადი М 0 (x,y,z) წერტილში. შემდეგ მოქმედებს შემდეგი ტოლობები:

ა) grad()= ; ბ) გრად(UV)=VgradU+UgradV;

გ) grad(U V)=gradU gradV; დ) დ) გრად = , V ;

ე) gradU( = gradU, სადაც, U=U() აქვს წარმოებული .

მაგალითი 2.1.მოცემულია ფუნქცია U=x 2 +y 2 +z 2. განსაზღვრეთ ფუნქციის გრადიენტი M(-2;3;4) წერტილში.

გამოსავალი.ფორმულის მიხედვით (2.2) გვაქვს

ამ სკალარული ველის დონის ზედაპირები არის სფეროების ოჯახი x 2 +y 2 +z 2, ვექტორი gradU=(-4;6;8) არის სიბრტყეების ნორმალური ვექტორი.

მაგალითი 2.2.იპოვეთ სკალარული ველის გრადიენტი U=x-2y+3z.

გამოსავალი.ფორმულის მიხედვით (2.2) გვაქვს

მოცემული სკალარული ველის დონის ზედაპირები არის სიბრტყეები

x-2y+3z=C; ვექტორი gradU=(1;-2;3) არის ამ ოჯახის სიბრტყეების ნორმალური ვექტორი.

მაგალითი 2.3.იპოვეთ ზედაპირის ყველაზე ციცაბო დახრილობა U=x y M(2;2;4) წერტილში.

გამოსავალი.Ჩვენ გვაქვს:

მაგალითი 2.4.იპოვეთ სკალარული ველის დონის ზედაპირის ერთეული ნორმალური ვექტორი U=x 2 +y 2 +z 2 .

გამოსავალი.მოცემული სკალარის დონის ზედაპირები ველი-სფერო x 2 +y 2 +z 2 =C (C>0).

გრადიენტი მიმართულია ნორმალური ზედაპირის გასწვრივ, ისე, რომ

განსაზღვრავს ნორმალურ ვექტორს დონის ზედაპირზე M(x,y,z) წერტილში. ერთეული ნორმალური ვექტორისთვის ვიღებთ გამონათქვამს

მაგალითი 2.5.იპოვეთ ველის გრადიენტი U= , სადაც და არის მუდმივი ვექტორები, r არის წერტილის რადიუსის ვექტორი.

გამოსავალი.დაე

შემდეგ: . დეტერმინანტის დიფერენციაციის წესით ვიღებთ

აქედან გამომდინარე,

მაგალითი 2.6.იპოვეთ მანძილის გრადიენტი, სადაც P(x,y,z) არის შესწავლილი ველის წერტილი, P 0 (x 0,y 0,z 0) არის რაღაც ფიქსირებული წერტილი.

გამოსავალი.გვაქვს - ერთეული მიმართულების ვექტორი.

მაგალითი 2.7.იპოვეთ კუთხე ფუნქციების გრადიენტებს შორის M 0 (1,1) წერტილში.

გამოსავალი.ამ ფუნქციების გრადიენტებს ვპოულობთ M 0 (1,1) წერტილში, გვაქვს

; კუთხე gradU-სა და gradV-ს შორის M 0 წერტილში განისაზღვრება ტოლობიდან

აქედან გამომდინარე =0.

მაგალითი 2.8.იპოვეთ წარმოებული მიმართულების მიმართ, რადიუსის ვექტორი ტოლია

გამოსავალი.ამ ფუნქციის გრადიენტის პოვნა:

(2.5) ჩანაცვლებით (2.4) მივიღებთ

მაგალითი 2.9.იპოვეთ M 0 (1;1;1) წერტილში სკალარული ველის უდიდესი ცვლილების მიმართულება U=xy+yz+xz და ამ წერტილის ამ უდიდესი ცვლილების სიდიდე.

გამოსავალი.ველში უდიდესი ცვლილების მიმართულება მითითებულია ვექტორული გრადუსით U(M). ჩვენ ვიპოვით მას:

Და, შესაბამისად, . ეს ვექტორი განსაზღვრავს ამ ველის უდიდესი ზრდის მიმართულებას M 0 (1;1;1) წერტილში. ამ ეტაპზე ველში ყველაზე დიდი ცვლილების მნიშვნელობა უდრის

მაგალითი 3.1.იპოვნეთ ვექტორული ველის ვექტორული ხაზები, სადაც არის მუდმივი ვექტორი.

გამოსავალი.ჩვენ ასე გვაქვს

პირველი წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი გავამრავლოთ x-ზე, მეორე - y-ზე, მესამე - z-ზე და დავამატოთ იგი ტერმინით. პროპორციის თვისების გამოყენებით ვიღებთ

აქედან გამომდინარე xdx+ydy+zdz=0, რაც ნიშნავს

x 2 +y 2 +z 2 =A 1, A 1 -const>0. ახლა ვამრავლებთ პირველი წილადის (3.3) მრიცხველს და მნიშვნელს c 1-ზე, მეორეს c 2-ზე, მესამეს c 3-ზე და შევაჯამებთ წევრს ნაწილზე, მივიღებთ

საიდანაც c 1 dx+c 2 dy+c 3 dz=0

და, შესაბამისად, 1 x+c 2 y+c 3 z=A 2-ით. 2-კონსტ.

ვექტორული ხაზების საჭირო განტოლებები

ეს განტოლებები გვიჩვენებს, რომ ვექტორული ხაზები მიიღება სფეროების გადაკვეთის შედეგად, რომლებსაც აქვთ საერთო ცენტრი სათავეში ვექტორის პერპენდიკულარულ სიბრტყეებთან. აქედან გამომდინარეობს, რომ ვექტორული ხაზები არის წრეები, რომელთა ცენტრები განლაგებულია სწორ ხაზზე, რომელიც გადის საწყისზე ვექტორის c მიმართულებით. წრეების სიბრტყეები მითითებული ხაზის პერპენდიკულარულია.

მაგალითი 3.2.იპოვეთ ველის ვექტორული ხაზი, რომელიც გადის წერტილში (1,0,0).

გამოსავალი.ვექტორული ხაზების დიფერენციალური განტოლებები

ამიტომ გვაქვს . პირველი განტოლების ამოხსნა. ან თუ შემოვიტანთ t პარამეტრს, მაშინ გვექნება ამ შემთხვევაში, განტოლება იღებს ფორმას ან dz=bdt, საიდანაც z=bt+c 2 .

მოკლე თეორია

გრადიენტი არის ვექტორი, რომლის მიმართულება მიუთითებს f(x) ფუნქციის ყველაზე სწრაფი ზრდის მიმართულებაზე. ამ ვექტორული სიდიდის პოვნა დაკავშირებულია ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულების განსაზღვრასთან. მიმართულების წარმოებული არის სკალარული მნიშვნელობა და აჩვენებს ფუნქციის ცვლილების სიჩქარეს რომელიმე ვექტორის მიერ მოცემული მიმართულებით მოძრაობისას.

პრობლემის გადაჭრის მაგალითი

Ამოცანა

მოცემულია ფუნქცია , წერტილი და ვექტორი . იპოვე:

პრობლემის გადაწყვეტა

ფუნქციის გრადიენტის პოვნა

1) იპოვეთ ფუნქციის გრადიენტი წერტილში:

სასურველი გრადიენტი:

წარმოებულის პოვნა ვექტორის მიმართულების მიმართ

2) იპოვეთ წარმოებული ვექტორის მიმართულებით:

სად არის ვექტორისა და ღერძის მიერ წარმოქმნილი კუთხე

სასურველი წარმოებული წერტილში:

ფასზე ძლიერ გავლენას ახდენს გადაწყვეტილების გადაუდებლობა (დღიდან რამდენიმე საათამდე). ონლაინ დახმარება გამოცდაზე/ტესტში ტარდება დანიშვნით.

აპლიკაცია შეიძლება დარჩეს უშუალოდ ჩატში, მანამდე გადააგდო ამოცანების მდგომარეობა და შეგატყობინოთ მისი გადაჭრის ვადების შესახებ. რეაგირების დრო რამდენიმე წუთია.

სასკოლო მათემატიკის კურსიდან ცნობილია, რომ ვექტორი სიბრტყეზე არის მიმართული სეგმენტი. მის დასაწყისს და დასასრულს ორი კოორდინატი აქვს. ვექტორული კოორდინატები გამოითვლება საწყისი კოორდინატების ბოლო კოორდინატებს გამოკლებით.

ვექტორის კონცეფცია ასევე შეიძლება გავრცელდეს n-განზომილებიან სივრცეში (ორი კოორდინატის ნაცვლად იქნება n კოორდინატი).

გრადიენტი gradz ფუნქცია z=f(x 1 , x 2 , ... x n) არის ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულების ვექტორი წერტილში, ე.ი. ვექტორი კოორდინატებით.

შეიძლება დადასტურდეს, რომ ფუნქციის გრადიენტი ახასიათებს ფუნქციის დონის ყველაზე სწრაფი ზრდის მიმართულებას წერტილში.

მაგალითად, ფუნქციისთვის z \u003d 2x 1 + x 2 (იხ. სურათი 5.8), გრადიენტს ნებისმიერ წერტილში ექნება კოორდინატები (2; 1). ის შეიძლება აშენდეს თვითმფრინავზე სხვადასხვა გზით, ვექტორის დასაწყისად ნებისმიერი წერტილის აღებით. მაგალითად, შეგიძლიათ დააკავშიროთ წერტილი (0; 0) წერტილს (2; 1), ან წერტილი (1; 0) წერტილს (3; 1), ან წერტილი (0; 3) წერტილს (2; 4), ან ტ .პ. (იხ. სურათი 5.8). ამ გზით აგებულ ყველა ვექტორს ექნება კოორდინატები (2 - 0; 1 - 0) = = (3 - 1; 1 - 0) = (2 - 0; 4 - 3) = (2; 1).

სურათი 5.8 ნათლად აჩვენებს, რომ ფუნქციის დონე იზრდება გრადიენტის მიმართულებით, რადგან აშენებული დონის ხაზები შეესაბამება დონის მნიშვნელობებს 4 > 3 > 2.

სურათი 5.8 - ფუნქციის გრადიენტი z \u003d 2x 1 + x 2

განვიხილოთ კიდევ ერთი მაგალითი - ფუნქცია z= 1/(x 1 x 2). ამ ფუნქციის გრადიენტი აღარ იქნება ყოველთვის იგივე სხვადასხვა წერტილში, რადგან მისი კოორდინატები განისაზღვრება ფორმულებით (-1 / (x 1 2 x 2); -1 / (x 1 x 2 2)).

ნახაზი 5.9 გვიჩვენებს z= 1/(x 1 x 2) ფუნქციის დონის ხაზებს 2 და 10 დონეებისთვის (ხაზი 1/(x 1 x 2) = 2 მითითებულია წერტილოვანი ხაზით, ხოლო ხაზი 1/( x 1 x 2) = 10 არის მყარი ხაზი).

სურათი 5.9 - z \u003d 1 / (x 1 x 2) ფუნქციის გრადიენტები სხვადასხვა წერტილში

აიღეთ, მაგალითად, წერტილი (0.5; 1) და გამოთვალეთ გრადიენტი ამ ეტაპზე: (-1 / (0.5 2 * 1); -1 / (0.5 * 1 2)) \u003d (-4; - 2) . გაითვალისწინეთ, რომ წერტილი (0.5; 1) დევს დონის ხაზზე 1 / (x 1 x 2) \u003d 2, რადგან z \u003d f (0.5; 1) \u003d 1 / (0.5 * 1) \u003d 2. დახაზეთ ვექტორი (-4; -2) სურათზე 5.9, დააკავშირეთ წერტილი (0.5; 1) წერტილთან (-3.5; -1), რადგან (-3.5 - 0.5; -1 - 1) = (-4; -2).

ავიღოთ სხვა წერტილი იმავე დონის წრფეზე, მაგალითად, წერტილი (1; 0.5) (z=f(1; 0.5) = 1/(0.5*1) = 2). გამოთვალეთ გრადიენტი ამ წერტილში (-1/(1 2 *0.5); -1/(1*0.5 2)) = (-2; -4). 5.9-ზე მის გამოსასახავად, ჩვენ ვაკავშირებთ წერტილს (1; 0.5) წერტილს (-1; -3.5), რადგან (-1 - 1; -3.5 - 0.5) = (-2; - 4).

ავიღოთ კიდევ ერთი წერტილი იმავე დონის წრფეზე, მაგრამ მხოლოდ ახლა არაპოზიტიურ კოორდინატთა კვარტალში. მაგალითად, წერტილი (-0.5; -1) (z=f(-0.5; -1) = 1/((-1)*(-0.5)) = 2). გრადიენტი ამ ეტაპზე იქნება (-1/((-0.5) 2 *(-1)); -1/((-0.5)*(-1) 2)) = (4; 2). მოდით გამოვსახოთ იგი სურათზე 5.9 წერტილის (-0.5; -1) (3.5; 1) წერტილთან დაკავშირებით, რადგან (3.5 - (-0.5); 1 - (-1)) = (4 ; 2).

უნდა აღინიშნოს, რომ სამივე განხილულ შემთხვევაში, გრადიენტი აჩვენებს ფუნქციის დონის ზრდის მიმართულებას (დონის ხაზისკენ 1/(x 1 x 2) = 10 > 2).

შეიძლება დადასტურდეს, რომ გრადიენტი ყოველთვის პერპენდიკულარულია მოცემულ წერტილში გამავალი დონის წრფეზე (დონის ზედაპირი).

რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის ექსტრემა

მოდით განვსაზღვროთ კონცეფცია ექსტრემალურიმრავალი ცვლადის ფუნქციისთვის.

მრავალი ცვლადის ფუნქციას აქვს f(X) X წერტილში (0) მაქსიმალური (მინიმალური),თუ არის ამ წერტილის ისეთი მეზობლობა, რომ ყველა X წერტილისთვის ამ სამეზობლოდან არის f(X)f(X (0)) () უტოლობა.

თუ ეს უტოლობები დაკმაყოფილებულია როგორც მკაცრი, მაშინ ექსტრემუმი ეწოდება ძლიერიდა თუ არა, მაშინ სუსტი.

გაითვალისწინეთ, რომ ამ გზით განსაზღვრული ექსტრემუმი არის ადგილობრივიხასიათი, ვინაიდან ეს უთანასწორობები მოქმედებს მხოლოდ უკიდურესი წერტილის ზოგიერთ მახლობლად.

დიფერენცირებადი ფუნქციის z=f(x 1, . . ., x n) ლოკალური უკიდურესობის აუცილებელი პირობაა ამ წერტილში პირველი რიგის ნაწილობრივი წარმოებულის ნულის ტოლობა:
.

წერტილები, რომლებზეც ეს თანასწორობაა, ეწოდება სტაციონარული.

სხვაგვარად, უკიდურესობის აუცილებელი პირობა შეიძლება ჩამოყალიბდეს შემდეგნაირად: უკიდურეს წერტილში გრადიენტი ნულის ტოლია. ასევე შესაძლებელია უფრო ზოგადი განცხადების დამტკიცება - უკიდურეს წერტილში ფუნქციის წარმოებულები ქრება ყველა მიმართულებით.

სტაციონარული წერტილები უნდა დაექვემდებაროს დამატებით კვლევებს - დაკმაყოფილებულია თუ არა საკმარისი პირობები ადგილობრივი ექსტრემის არსებობისთვის. ამისათვის დაადგინეთ მეორე რიგის დიფერენციალური ნიშანი. თუ რომელიმესთვის, რომელიც ერთდროულად არ არის ნულის ტოლი, ის ყოველთვის უარყოფითია (დადებითი), მაშინ ფუნქციას აქვს მაქსიმუმი (მინიმუმი). თუ ის შეიძლება გაქრეს არა მხოლოდ ნულოვანი მატებით, მაშინ ექსტრემის საკითხი ღია რჩება. თუ მას შეუძლია მიიღოს როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი მნიშვნელობები, მაშინ სტაციონარულ წერტილში არ არის ექსტრემუმი.

ზოგადად, დიფერენციალური ნიშნის განსაზღვრა საკმაოდ რთული პრობლემაა, რომელსაც აქ არ განვიხილავთ. ორი ცვლადის ფუნქციისთვის შეიძლება დაამტკიცოს, რომ თუ სტაციონარულ წერტილში
, მაშინ არის ექსტრემუმი. ამ შემთხვევაში მეორე დიფერენციალური ნიშანი ემთხვევა ნიშანს
, ე.ი. თუ
, მაშინ ეს არის მაქსიმუმი და თუ
, მაშინ ეს არის მინიმალური. თუ
, მაშინ ამ ეტაპზე ექსტრემუმი არ არის და თუ
, მაშინ ექსტრემის საკითხი ღია რჩება.

მაგალითი 1. იპოვნეთ ფუნქციის უკიდურესობა
.

ვიპოვოთ ნაწილობრივი წარმოებულები ლოგარითმული დიფერენციაციის მეთოდით.

ln z = ln 2 + ln (x + y) + ln (1 + xy) - ln (1 + x 2) - ln (1 + y 2)

ანალოგიურად
.

ვიპოვოთ სტაციონარული წერტილები განტოლებათა სისტემიდან:

ამრიგად, ნაპოვნია ოთხი სტაციონარული წერტილი (1; 1), (1; -1), (-1; 1) და (-1; -1).

ვიპოვოთ მეორე რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები:

ln (z x `) = ln 2 + ln (1 - x 2) -2ln (1 + x 2)

ანალოგიურად
;
.

იმიტომ რომ
, გამოხატვის ნიშანი
დამოკიდებულია მხოლოდ
. გაითვალისწინეთ, რომ ორივე წარმოებულში მნიშვნელი ყოველთვის დადებითია, ასე რომ თქვენ შეგიძლიათ გაითვალისწინოთ მხოლოდ მრიცხველის ნიშანი, ან თუნდაც x (x 2 - 3) და y (y 2 - 3) გამონათქვამების ნიშანი. მოდით განვსაზღვროთ იგი თითოეულ კრიტიკულ წერტილში და შევამოწმოთ საკმარისი ექსტრემალური მდგომარეობის შესრულება.

წერტილისთვის (1; 1) ვიღებთ 1*(1 2 - 3) = -2< 0. Т.к. произведение двух отрицательных чисел
> 0 და
< 0, в точке (1; 1) можно найти максимум. Он равен
= 2*(1 + 1)*(1 +1*1)/((1 +1 2)*(1 +1 2)) = = 8/4 = 2.

წერტილისთვის (1; -1) ვიღებთ 1*(1 2 - 3) = -2< 0 и (-1)*((-1) 2 – 3) = 2 >0. რადგან ამ რიცხვების ნამრავლი
< 0, в этой точке экстремума нет. Аналогично можно показать, что нет экстремума в точке (-1; 1).

წერტილისთვის (-1; -1) ვიღებთ (-1)*((-1) 2 - 3) = 2 > 0. ორი დადებითი რიცხვის ნამრავლი
> 0 და
> 0, წერტილში (-1; -1) შეგიძლიათ იპოვოთ მინიმუმი. უდრის 2*((-1) + (-1))*(1 +(-1)*(-1))/((1 +(-1) 2)*(1 +(-1) 2) ) = -8/4 = = -2.

იპოვე გლობალურიმაქსიმალური ან მინიმალური (ფუნქციის უდიდესი ან უმცირესი მნიშვნელობა) გარკვეულწილად უფრო რთულია, ვიდრე ლოკალური ექსტრემუმი, რადგან ამ მნიშვნელობების მიღწევა შესაძლებელია არა მხოლოდ სტაციონარულ წერტილებში, არამედ განსაზღვრის დომენის საზღვარზე. ამ რეგიონის საზღვარზე ფუნქციის ქცევის შესწავლა ყოველთვის ადვილი არ არის.