ಪಾಯಿಂಟ್ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ. ಕಾರ್ಯ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಜಾಗದ ಭಾಗವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಮಾಣದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ, ಈ ಪ್ರಮಾಣದ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಮೌಲ್ಯವು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಅದರ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ತಾಪಮಾನ ಕ್ಷೇತ್ರ. u = /(M) ಬಿಂದುವಿನ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಿದರೆ, ಮೂರು ಅಸ್ಥಿರ x, yt z - ಪಾಯಿಂಟ್ M ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಕಾರ್ಯವಿದೆ: ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮಟ್ಟದ ಮೇಲ್ಮೈಯು ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ f(M) ಕಾರ್ಯವು ಅದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಮಟ್ಟದ ಮೇಲ್ಮೈ ಸಮೀಕರಣದ ಉದಾಹರಣೆ 1. ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಫೀಲ್ಡ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಮಟ್ಟದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ. ಮೇಲ್ಮೈ ಸಮೀಕರಣ ಇರುತ್ತದೆ. ಇದು ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರುವ ಗೋಳದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ (Ф 0 ನೊಂದಿಗೆ). ಕೆಲವು ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಸಮತಲಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಒಂದೇ ಆಗಿದ್ದರೆ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಫ್ಲಾಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಸಮತಲವನ್ನು xOy ಸಮತಲವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಕ್ಷೇತ್ರ ಕಾರ್ಯವು z ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ, ಇದು x ಮತ್ತು y. ಮತ್ತು ಅರ್ಥದ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ಗಳ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಮಟ್ಟದ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ - ಉದಾಹರಣೆ 2. ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮಟ್ಟದ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮಟ್ಟದ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ c = 0 ನಲ್ಲಿ ನಾವು ಜೋಡಿ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ನಾವು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಗಳ ಕುಟುಂಬವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (ಚಿತ್ರ 1). 1.1. ಡೈರೆಕ್ಷನಲ್ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ u = /(Af) ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರವಿರಲಿ. ಅಫೊ ಬಿಂದುವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ I ನಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ. ನಾವು ಇನ್ನೊಂದು ಬಿಂದು M ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ ಇದರಿಂದ ವೆಕ್ಟರ್ M0M ವೆಕ್ಟರ್ 1 (Fig. 2) ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಾವು MoM ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದವನ್ನು A/ ನಿಂದ ಸೂಚಿಸೋಣ, ಮತ್ತು ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಮೆಂಟ್ D1 ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಕ್ರಿಯೆಯ /(Af) - /(Afo) ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು Di ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸೋಣ. ಅನುಪಾತವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದಿಕ್ಕಿಗೆ ಪ್ರತಿ ಯೂನಿಟ್ ಉದ್ದದ ಪ್ರತಿ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಬದಲಾವಣೆಯ ಸರಾಸರಿ ದರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಈಗ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರೋಣ ಇದರಿಂದ ವೆಕ್ಟರ್ М0M ಸಾರ್ವಕಾಲಿಕ ವೆಕ್ಟರ್ I ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. D/O ಗೆ ಸಂಬಂಧದ (5) ಸೀಮಿತ ಮಿತಿಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ I ಗೆ Afo ನಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು zr!^ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಆಯ್ಕೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ, ಇದು ** ಭಿನ್ನ ಪಾತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಕಾರ್ಟೀಸಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿನ ನಿರ್ದೇಶನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಉತ್ಪನ್ನದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಲಿ. ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯ /(Af) ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ನಂತರ ಕಾರ್ಯದ ಒಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು: ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಎಂದರೆ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು Afo ಹಂತದಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಇಲ್ಲಿ jfi, ^ ಪ್ರಮಾಣಗಳು ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ದಿಕ್ಕಿನ ಕೊಸೈನ್‌ಗಳಾಗಿವೆ. MoM ಮತ್ತು I ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಸಹ-ನಿರ್ದೇಶಿತವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅವುಗಳ ದಿಕ್ಕಿನ ಕೊಸೈನ್‌ಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ: ಉತ್ಪನ್ನಗಳು, ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯ nno ಜೊತೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳ ದಿಕ್ಕುಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ- ಉದಾಹರಣೆ 3. ಪಾಯಿಂಟ್ ಕಡೆಗೆ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದರ ದಿಕ್ಕಿನ ಕೊಸೈನ್‌ಗಳು: ಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ (9) ನಾವು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಹೊಂದುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ ವಯಸ್ಸಿನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರವು - ಸಮತಟ್ಟಾದ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕಾಗಿ, ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ I ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿನ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ ಇಲ್ಲಿ a ಎಂಬುದು ವೆಕ್ಟರ್ I ಅಕ್ಷದ ಓಹ್‌ನೊಂದಿಗೆ ರೂಪುಗೊಂಡ ಕೋನವಾಗಿದೆ. Zmmchmm. Afo(l, 1) ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ. ಈ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ (ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ) ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ. ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ದಿಕ್ಕು ] ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ದಿಕ್ಕು (ಚಿತ್ರ 3). Afo ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ o ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸಲಿ. ನಂತರ ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್‌ನ ಕೊಸೈನ್‌ಗಳನ್ನು ಎಲ್ಲಿಂದ ನಿರ್ದೇಶಿಸುವುದು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ. ನಾವು ಈಗ ಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ (10) ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ವೃತ್ತದ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ ವೃತ್ತದ ವೆಕ್ಟರ್ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಘಟಕದ ವೆಕ್ಟರ್ m ಅನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಪಾಯಿಂಟ್ ನಿಯತಾಂಕದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಫೀಲ್ಡ್ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಡಿಫರೆನ್ಸಬಲ್ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾದ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನಿಂದ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ » ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ M ಒಂದು ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸಂಕೇತ ಗ್ರಾಡ್‌ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಈ ವೆಕ್ಟರ್ ಕಾರ್ಯ / ಮತ್ತು ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ M ಬಿಂದುವಿನ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. 1 ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಘಟಕ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿರಲಿ ನಂತರ ದಿಕ್ಕಿನ ಉತ್ಪನ್ನದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು: . ಹೀಗಾಗಿ, ದಿಕ್ಕಿನ 1 ರ ಉದ್ದಕ್ಕೂ u ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು u(M) ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್‌ನ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕಿನ I. 2.1 ರ ಘಟಕ ವೆಕ್ಟರ್ 1°. ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು 1. ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಫೀಲ್ಡ್ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಸಮತಲ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ (ಅಥವಾ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಸಮತಟ್ಟಾಗಿದ್ದರೆ ಮಟ್ಟದ ರೇಖೆಗೆ) ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ. (2) ನಾವು ಒಂದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದು M ಮೂಲಕ ಮಟ್ಟದ ಮೇಲ್ಮೈ u = const ಅನ್ನು ಸೆಳೆಯೋಣ ಮತ್ತು M ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಈ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಮೃದುವಾದ ಕರ್ವ್ L ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡೋಣ (ಚಿತ್ರ 4). ನಾನು M ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ L ಕರ್ವ್‌ಗೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಆಗಿರಲಿ. ಯಾವುದೇ ಬಿಂದು Mj ∈ L ಗೆ ಮಟ್ಟದ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ u(M) = u(M|), ನಂತರ ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, = (ಪದವಿ, 1°) . ಅದಕ್ಕೇ. ಇದರರ್ಥ ವೆಕ್ಟರ್ ಗ್ರ್ಯಾಡ್ ಮತ್ತು ಮತ್ತು 1° ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ.ಹೀಗಾಗಿ, ವೆಕ್ಟರ್ ಗ್ರ್ಯಾಡ್ ಮತ್ತು ಎಂ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿರುವ ಸಮತಲ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಯಾವುದೇ ಸ್ಪರ್ಶಕ್ಕೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಇದು ಪಾಯಿಂಟ್ ಎಂ. ಪ್ರಮೇಯ 2 ನಲ್ಲಿನ ಮಟ್ಟದ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿದೆ. ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಅನ್ನು ಕ್ಷೇತ್ರ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೇಲ್ಮೈಯಿಂದ ಸಮತಲ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಮೊದಲು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಇದು u(M) ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚಳದ ಕಡೆಗೆ ಅಥವಾ ಅದರ ಇಳಿಕೆಯ ಕಡೆಗೆ ಆಧಾರಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ti(M) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಆಧಾರಿತ ಮಟ್ಟದ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಸಾಮಾನ್ಯವನ್ನು n ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಿ, ಮತ್ತು ಈ ಸಾಮಾನ್ಯದ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ u ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ (ಚಿತ್ರ 5). ಅಂಜೂರ 5 ರ ಸ್ಥಿತಿಯ ಪ್ರಕಾರ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ವೆಕ್ಟರ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಮತ್ತು ಮಟ್ಟದ ರೇಖೆಗಳು ಡೈರೆಕ್ಷನಲ್ ಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಡಿರೈವೇಟಿವ್ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಫೀಲ್ಡ್ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ನ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ನಿಯಮಗಳ ಅಸ್ಥಿರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ n ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ ದಿಕ್ಕಿನಂತೆಯೇ, ಅಂದರೆ, u(M) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ. ಪ್ರಮೇಯ 3. ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್‌ನ ಉದ್ದವು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ದಿಕ್ಕಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, (ಇಲ್ಲಿ, ಗರಿಷ್ಠ $ ಅನ್ನು ಬಿಂದುವಿಗೆ ನೀಡಿದ ಬಿಂದು M ನಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ). ವೆಕ್ಟರ್ 1 ಮತ್ತು ಗ್ರ್ಯಾಡ್ n ನಡುವಿನ ಕೋನ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯವು ಉದಾಹರಣೆ 1 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ. ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಇಮೋನಿಯನ್ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಈ ದೊಡ್ಡ ಬದಲಾವಣೆಯ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಹುಡುಕಿ. ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿನ ದೊಡ್ಡ ಬದಲಾವಣೆಯ ದಿಕ್ಕನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ವೆಕ್ಟರ್ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಹೆಚ್ಚಳದ ದಿಕ್ಕನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿನ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಬದಲಾವಣೆಯ ಮೌಲ್ಯವು 2.2 ಆಗಿದೆ. ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್‌ನ ಅಸ್ಥಿರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ವಸ್ತುವಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುವ ಪ್ರಮಾಣಗಳು ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಆಯ್ಕೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲದ ವಸ್ತುವಿನ ಅಸ್ಥಿರತೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಉದ್ದವು ಈ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ x-ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಕೋನವು ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಫೀಲ್ಡ್ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್‌ನ ಮೇಲಿನ ಮೂರು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ನಾವು ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್‌ನ ಕೆಳಗಿನ ಅಸ್ಥಿರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡಬಹುದು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಫೀಲ್ಡ್ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಎನ್ನುವುದು ಕ್ಷೇತ್ರ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯದಿಂದ ಸಮತಲ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ನಿರ್ದೇಶಿಸಿದ ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಡೈರೆಕ್ಷನಲ್ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ). ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾದ ಘಟಕ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಉದಾಹರಣೆ 2. ದೂರದ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ - ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದು, ಮತ್ತು M(x,y,z) - ಪ್ರಸ್ತುತ ಒಂದು. 4 ಯುನಿಟ್ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. c ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುವ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ನಿಯಮಗಳು. ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ನೇರವಾಗಿ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉತ್ಪನ್ನದ ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ನಿಯಮದ ಮೂಲಕ ಪುರಾವೆಯು ಆಸ್ತಿಯ ಪುರಾವೆಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ F(u) ಒಂದು ವಿಭಿನ್ನ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ 4 ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್‌ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ನಾವು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳಿಗೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಫಾರ್ಮುಲಾ (6) ಸೂತ್ರದ ಸಮತಲದಿಂದ ಈ ಸಮತಲದ ಎರಡು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಫೋಸಿ ಎಫ್ಜೆ ಮತ್ತು ಎಫ್] ಜೊತೆಗಿನ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಮತ್ತು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಒಂದು ಕೇಂದ್ರಬಿಂದುದಿಂದ ಹೊರಹೊಮ್ಮುವ ಯಾವುದೇ ಬೆಳಕಿನ ಕಿರಣವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದಿಂದ ಪ್ರತಿಫಲನದ ನಂತರ ಅದರ ಇನ್ನೊಂದು ಗಮನವನ್ನು ಪ್ರವೇಶಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ. ಕ್ರಿಯೆಯ ಹಂತದ ಸಾಲುಗಳು (7) ವೆಕ್ಟರ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಮತ್ತು ಮಟ್ಟದ ರೇಖೆಗಳು ಡೈರೆಕ್ಷನಲ್ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ನ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ನ ಅಸ್ಥಿರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ನಿಯಮಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳು (8) ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರುವ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಗಳ ಕುಟುಂಬವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಎಫ್) ಮತ್ತು ಎಫ್ಜೆ. ಉದಾಹರಣೆ 2 ರ ಫಲಿತಾಂಶದ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ತ್ರಿಜ್ಯ ವಾಹಕಗಳು. ಫೋಸಿ F| ನಿಂದ P(x, y) ಬಿಂದುವಿಗೆ ಎಳೆಯಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು Fj, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ದ್ವಿಭಾಜಕದ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 6). Tooromo 1 ರ ಪ್ರಕಾರ, ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ PQ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಕ್ಕೆ (8) ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, Fig.6. ಯಾವುದೇ ನೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಕ್ಕೆ (8) ಸಾಮಾನ್ಯವು ಈ ಹಂತಕ್ಕೆ ಎಳೆಯಲಾದ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿಂದ ಮತ್ತು ಘಟನೆಯ ಕೋನವು ಪ್ರತಿಫಲನದ ಕೋನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಒಂದು ಕೇಂದ್ರಬಿಂದುದಿಂದ ಹೊರಬರುವ ಬೆಳಕಿನ ಕಿರಣ, ಅದರಿಂದ ಪ್ರತಿಫಲಿಸುತ್ತದೆ, ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಈ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಇನ್ನೊಂದು ಕೇಂದ್ರಕ್ಕೆ ಬೀಳುತ್ತದೆ.

λ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ u ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ

ಎರಡನೆಯ ಅಂಶಗಳು ಕಿರಣ λ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾದ ಯುನಿಟ್ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳಾಗಿವೆ.

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣಗಳು ಆಯ್ದ t. Р(x, y, z) ನಲ್ಲಿನ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳಾಗಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಈ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು u (x, y, z) ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು gradu ಅಥವಾ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ u(x, y, z) ಒಂದು ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದ್ದು, ಅದರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳು ಈ ಕಾರ್ಯದ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳಾಗಿವೆ, ಅಂದರೆ.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಮತ್ತು ಈ ದಿಕ್ಕಿನ ಘಟಕ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವುದು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

,

ಇಲ್ಲಿ φ ವೆಕ್ಟರ್ ನಡುವಿನ ಕೋನವಾಗಿದೆ ಪದವಿಗಳುಮತ್ತು ಕಿರಣ λ.

ಅತ್ಯಧಿಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ

ಆದ್ದರಿಂದ, ನೀಡಲಾದ ಪಾಯಿಂಟ್ P ನಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯವಿದೆ, ಮತ್ತು ದಿ ಗ್ರ್ಯಾಡ್ ಯು ಪಾಯಿಂಟ್ P ನಿಂದ ಹೊರಬರುವ ಕಿರಣದ ದಿಕ್ಕಿನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯವು ವೇಗವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಮತ್ತು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮಟ್ಟದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ನಾವು ಸ್ಥಾಪಿಸೋಣ.

ಪ್ರಮೇಯ. ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲಿ u (x,y,z) ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಈ ಹಂತದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಪುರಾವೆ. ನಾವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ t. R 0 (x 0, y 0, z 0) ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

ಮೇಲ್ಮೈ ಸಮೀಕರಣ

ಮಟ್ಟದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ

ಅಂದರೆ u(x,y,z)= ,

u 0 \u003d u (x 0, y 0, z 0)

ಈ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯದ ಸಮೀಕರಣವು t. ನಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ

ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ , t. P 0 , p.t.d ನಲ್ಲಿ u (x, y, z) ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಆಗಿದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲಿರುವ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಮಟ್ಟದ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಈ ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ ಅದರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ:ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸಮತಲ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ದಿಕ್ಕಿನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:

2) ಪದವಿ , ಅಲ್ಲಿ ಸಿ - ಕಾನ್ಸ್ಟ್

4) ಪದವಿ

ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ.ಪಾಯಿಂಟ್ M(1, 1, 1) ನಲ್ಲಿ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿನ ದೊಡ್ಡ ಬದಲಾವಣೆಯ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಮತ್ತು ಈ ಬದಲಾವಣೆಯ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

1 0 ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಸಮತಲ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಅಥವಾ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಸಮತಟ್ಟಾಗಿದ್ದರೆ ಮಟ್ಟದ ರೇಖೆಗೆ).

2 0 ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಅನ್ನು ಕ್ಷೇತ್ರ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

3 0 ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿರುವ ದೊಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ನ ಅಸ್ಥಿರ ಲಕ್ಷಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿನ ದೊಡ್ಡ ಬದಲಾವಣೆಯ ದಿಕ್ಕು ಮತ್ತು ಪರಿಮಾಣವನ್ನು gradU ವೆಕ್ಟರ್ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅವರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ.

ಟಿಪ್ಪಣಿ 2.1. U(x,y) ಕಾರ್ಯವು ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ವೆಕ್ಟರ್

ಆಕ್ಸಿ ಪ್ಲೇನ್‌ನಲ್ಲಿದೆ.

М 0 (x,y,z) ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ U=U(x,y,z) ಮತ್ತು V=V(x,y,z) ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮಾಡೋಣ. ನಂತರ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನತೆಗಳು ಇರುತ್ತವೆ:

a) ಪದವಿ()= ; b) ಗ್ರಾಡ್(UV)=VgradU+UgradV;

ಸಿ) ಗ್ರಾಡ್(ಯು ವಿ)=ಗ್ರಾಡ್ಯು ಗ್ರಾಡ್ವಿ; ಡಿ) ಡಿ) ಗ್ರಾಡ್ = , ವಿ ;

ಇ) gradU( = gradU, ಅಲ್ಲಿ , U=U() ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಒಂದು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2.1. U=x 2 +y 2 +z 2 ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಪಾಯಿಂಟ್ M(-2;3;4) ನಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ.ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ (2.2), ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

ಈ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮಟ್ಟದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಗೋಳಗಳ ಕುಟುಂಬ x 2 +y 2 +z 2 , ವೆಕ್ಟರ್ gradU=(-4;6;8) ಸಮತಲಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2.2. U=x-2y+3z ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ.ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ (2.2), ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

ನೀಡಿರುವ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮಟ್ಟದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಸಮತಲಗಳಾಗಿವೆ

x-2y+3z=C; ವೆಕ್ಟರ್ gradU=(1;-2;3) ಈ ಕುಟುಂಬದ ವಿಮಾನಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2.3. M(2;2;4) ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ U=x y ಮೇಲ್ಮೈಯ ಕಡಿದಾದ ಇಳಿಜಾರನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ.ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 2.4. U=x 2 +y 2 +z 2 ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮಟ್ಟದ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಯುನಿಟ್ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ.ನೀಡಿರುವ ಸ್ಕೇಲಾರ್‌ನ ಮಟ್ಟದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಕ್ಷೇತ್ರ-ಗೋಳ x 2 +y 2 +z 2 =C (C>0).

ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಸಮತಲ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ

M(x,y,z) ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಮಟ್ಟದ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಯೂನಿಟ್ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ಗಾಗಿ, ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಉದಾಹರಣೆ 2.5.ಕ್ಷೇತ್ರ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ U= , ಅಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು, r ಎಂಬುದು ಬಿಂದುವಿನ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ.

ಪರಿಹಾರ.ಅವಕಾಶ

ನಂತರ: . ಡಿಟರ್ಮಿನಂಟ್ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮದಿಂದ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಆದ್ದರಿಂದ,

ಉದಾಹರಣೆ 2.6.ದೂರದ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ, ಅಲ್ಲಿ P(x,y,z) ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ, P 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ.

ಪರಿಹಾರ.ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ - ಘಟಕ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್.

ಉದಾಹರಣೆ 2.7.ಪಾಯಿಂಟ್ M 0 (1,1) ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಗಳ ಇಳಿಜಾರುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ.ಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ಇಳಿಜಾರುಗಳನ್ನು ನಾವು M 0 (1,1) ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

; ಬಿಂದು M 0 ನಲ್ಲಿ gradU ಮತ್ತು gradV ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

ಆದ್ದರಿಂದ =0.

ಉದಾಹರಣೆ 2.8.ದಿಕ್ಕಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ, ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೆಕ್ಟರ್ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಪರಿಹಾರ.ಈ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು:

(2.5) ಅನ್ನು (2.4) ಗೆ ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಉದಾಹರಣೆ 2.9. M 0 (1;1;1) ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ U=xy+yz+xz ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿನ ದೊಡ್ಡ ಬದಲಾವಣೆಯ ದಿಕ್ಕು ಮತ್ತು ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಈ ದೊಡ್ಡ ಬದಲಾವಣೆಯ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ.ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿನ ಮಹತ್ತರವಾದ ಬದಲಾವಣೆಯ ದಿಕ್ಕನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ ಗ್ರ್ಯಾಡ್ U(M) ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ನಾವು ಅದನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಆದ್ದರಿಂದ, . ಈ ವೆಕ್ಟರ್ M 0 (1;1;1) ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಈ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಹೆಚ್ಚಳದ ದಿಕ್ಕನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿನ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಬದಲಾವಣೆಯ ಮೌಲ್ಯವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಉದಾಹರಣೆ 3.1.ಸ್ಥಿರ ವೆಕ್ಟರ್ ಇರುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ವೆಕ್ಟರ್ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ.ನಮ್ಮಲ್ಲಿ ಹಾಗೆ ಇದೆ

ಮೊದಲ ಭಾಗದ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು x ನಿಂದ, ಎರಡನೆಯದನ್ನು y ನಿಂದ, ಮೂರನೆಯದನ್ನು z ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಪದದಿಂದ ಪದವನ್ನು ಸೇರಿಸಿ. ಅನುಪಾತದ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಆದ್ದರಿಂದ xdx+ydy+zdz=0, ಅಂದರೆ

x 2 +y 2 +z 2 =A 1 , A 1 -const>0. ಈಗ ಮೊದಲ ಭಾಗದ (3.3) ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು c 1 ರಿಂದ, ಎರಡನೆಯದನ್ನು c 2 ರಿಂದ, ಮೂರನೆಯದನ್ನು c 3 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಪದದಿಂದ ಪದವನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಎಲ್ಲಿಂದ c 1 dx+c 2 dy+c 3 dz=0

ಮತ್ತು, ಆದ್ದರಿಂದ, 1 x+c 2 y+c 3 z=A 2 ನೊಂದಿಗೆ. A 2-const.

ವೆಕ್ಟರ್ ರೇಖೆಗಳ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಸಮತಲಗಳೊಂದಿಗೆ ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗೋಳಗಳ ಛೇದನದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ವೆಕ್ಟರ್ ಸಿ ಯ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಮೂಲದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಕೇಂದ್ರಗಳು ನೇರ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ ರೇಖೆಗಳು ವಲಯಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ವಲಯಗಳ ವಿಮಾನಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3.2.ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಕ್ಷೇತ್ರ ವೆಕ್ಟರ್ ರೇಖೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ (1,0,0).

ಪರಿಹಾರ.ವೆಕ್ಟರ್ ರೇಖೆಗಳ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು

ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು. ಅಥವಾ ನಾವು ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ t ಅನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ ಅಥವಾ dz=bdt, ಎಲ್ಲಿಂದ z=bt+c 2 .

ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಸಿದ್ಧಾಂತ

ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಎಂಬುದು ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದ್ದು, ಅದರ ದಿಕ್ಕು f(x) ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ವೇಗವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುವ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ವೆಕ್ಟರ್ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಕ್ರಿಯೆಯ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿದೆ. ದಿಕ್ಕಿನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ವೆಕ್ಟರ್ ನೀಡಿದ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುವಾಗ ಕ್ರಿಯೆಯ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ಸಮಸ್ಯೆ ಪರಿಹಾರ ಉದಾಹರಣೆ

ಕಾರ್ಯ

ಒಂದು ಕಾರ್ಯ, ಒಂದು ಬಿಂದು ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಹುಡುಕಿ:

ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರ

ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು

1) ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್:

ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ದಿಕ್ಕಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು

2) ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಅಕ್ಷದಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಕೋನ ಎಲ್ಲಿದೆ

ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಬಯಸಿದ ಉತ್ಪನ್ನ:

ನಿರ್ಧಾರದ ತುರ್ತು (ದಿನಗಳಿಂದ ಹಲವಾರು ಗಂಟೆಗಳವರೆಗೆ) ಬೆಲೆ ಬಲವಾಗಿ ಪ್ರಭಾವಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪರೀಕ್ಷೆ / ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಆನ್‌ಲೈನ್ ಸಹಾಯವನ್ನು ಅಪಾಯಿಂಟ್‌ಮೆಂಟ್ ಮೂಲಕ ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಅನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಚಾಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಬಿಡಬಹುದು, ಈ ಹಿಂದೆ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತ್ಯಜಿಸಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಗಡುವನ್ನು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ ಸಮಯ ಹಲವಾರು ನಿಮಿಷಗಳು.

ಶಾಲೆಯ ಗಣಿತದ ಕೋರ್ಸ್‌ನಿಂದ ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದೇಶಿತ ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಇದರ ಪ್ರಾರಂಭ ಮತ್ತು ಅಂತ್ಯವು ಎರಡು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಿಮ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಳೆಯುವ ಮೂಲಕ ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು n-ಆಯಾಮದ ಜಾಗಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು (ಎರಡು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಬದಲಿಗೆ n ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಇರುತ್ತವೆ).

ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ gradz ಫಂಕ್ಷನ್ z=f(x 1 , x 2 , ... x n) ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ವೆಕ್ಟರ್.

ಒಂದು ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮಟ್ಟದ ವೇಗದ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ದಿಕ್ಕನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, z \u003d 2x 1 + x 2 ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ (ಚಿತ್ರ 5.8 ನೋಡಿ), ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (2; 1). ಇದನ್ನು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು, ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀವು ಪಾಯಿಂಟ್ (0; 0) ಅನ್ನು ಪಾಯಿಂಟ್ (2; 1), ಅಥವಾ ಪಾಯಿಂಟ್ (1; 0) ಗೆ ಪಾಯಿಂಟ್ (3; 1), ಅಥವಾ ಪಾಯಿಂಟ್ (0; 3) ಗೆ ಪಾಯಿಂಟ್ (2; 4) ಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸಬಹುದು. ಅಥವಾ ಟಿ .ಪಿ. (ಚಿತ್ರ 5.8 ನೋಡಿ). ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (2 - 0; 1 - 0) = = (3 - 1; 1 - 0) = (2 - 0; 4 - 3) = (2; 1).

ನಿರ್ಮಿತ ಮಟ್ಟದ ರೇಖೆಗಳು 4 > 3 > 2 ಮಟ್ಟದ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದರಿಂದ ಕಾರ್ಯದ ಮಟ್ಟವು ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಬೆಳೆಯುತ್ತದೆ ಎಂದು ಚಿತ್ರ 5.8 ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ಚಿತ್ರ 5.8 - ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ z \u003d 2x 1 + x 2

ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ - ಕಾರ್ಯ z= 1/(x 1 x 2). ಈ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ವಿವಿಧ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (-1 / (x 1 2 x 2); -1 / (x 1 x 2 2)).

ಚಿತ್ರ 5.9 2 ಮತ್ತು 10 ಹಂತಗಳಿಗೆ z= 1/(x 1 x 2) ಕಾರ್ಯದ ಹಂತದ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ (1/(x 1 x 2) = 2 ಸಾಲು ಚುಕ್ಕೆಗಳ ರೇಖೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು 1/( ಸಾಲು x 1 x 2) = 10 ಘನ ರೇಖೆ).

ಚಿತ್ರ 5.9 - ವಿವಿಧ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ z \u003d 1 / (x 1 x 2) ಕಾರ್ಯದ ಇಳಿಜಾರುಗಳು

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪಾಯಿಂಟ್ (0.5; 1) ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ ಮತ್ತು ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ: (-1 / (0.5 2 * 1); -1 / (0.5 * 1 2)) \u003d (-4; - 2) . ಪಾಯಿಂಟ್ (0.5; 1) 1 / (x 1 x 2) \u003d 2 ಹಂತದ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಏಕೆಂದರೆ z \u003d f (0.5; 1) \u003d 1 / (0.5 * 1) \u003d 2. ಗೆ ಚಿತ್ರ 5.9 ರಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ (-4; -2) ಅನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ, ಪಾಯಿಂಟ್ (0.5; 1) ಅನ್ನು ಪಾಯಿಂಟ್ (-3.5; -1) ನೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸಿ, ಏಕೆಂದರೆ (-3.5 - 0.5; -1 - 1) = (-4; -2).

ಅದೇ ಹಂತದ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಇನ್ನೊಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪಾಯಿಂಟ್ (1; 0.5) (z=f(1; 0.5) = 1/(0.5*1) = 2). ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ (-1/(1 2 *0.5); -1/(1*0.5 2)) = (-2; -4). ಚಿತ್ರ 5.9 ರಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸಲು, ನಾವು ಪಾಯಿಂಟ್ (1; 0.5) ಅನ್ನು ಪಾಯಿಂಟ್ (-1; -3.5) ನೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸುತ್ತೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ (-1 - 1; -3.5 - 0.5) = (-2; - 4).

ಅದೇ ಮಟ್ಟದ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಇನ್ನೂ ಒಂದು ಅಂಕವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, ಆದರೆ ಈಗ ಮಾತ್ರ ಧನಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ತ್ರೈಮಾಸಿಕದಲ್ಲಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪಾಯಿಂಟ್ (-0.5; -1) (z=f(-0.5; -1) = 1/((-1)*(-0.5)) = 2). ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ (-1/((-0.5) 2 *(-1)); -1/((-0.5)*(-1) 2)) = (4; 2). ಪಾಯಿಂಟ್ (-0.5; -1) ಅನ್ನು ಪಾಯಿಂಟ್ (3.5; 1) ನೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅದನ್ನು ಚಿತ್ರ 5.9 ರಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಿಸೋಣ, ಏಕೆಂದರೆ (3.5 - (-0.5); 1 - (-1)) = (4 ; 2).

ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ಹಂತದ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ದಿಕ್ಕನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ (ಲೆವೆಲ್ ಲೈನ್ 1/(x 1 x 2) = 10 > 2 ಕಡೆಗೆ).

ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಯಾವಾಗಲೂ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಮಟ್ಟದ ರೇಖೆಗೆ (ಮಟ್ಟದ ಮೇಲ್ಮೈ) ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು.

ಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯದ ಎಕ್ಸ್ಟ್ರೀಮಾ

ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ ವಿಪರೀತಅನೇಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ.

ಅನೇಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯವು ಎಫ್ (ಎಕ್ಸ್) ಬಿಂದು X (0) ನಲ್ಲಿದೆ ಗರಿಷ್ಠ (ಕನಿಷ್ಠ),ಈ ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆ ಇದ್ದರೆ, ಈ ನೆರೆಹೊರೆಯಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ X ಗೆ ಅಸಮಾನತೆಗಳು f(X)f(X (0)) () ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ.

ಈ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಬಲವಾದ, ಮತ್ತು ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ದುರ್ಬಲ.

ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ತೀವ್ರತೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ಸ್ಥಳೀಯಪಾತ್ರ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಹಿಡಿದಿರುತ್ತವೆ.

ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ z=f(x 1, . . ., x n) ವಿಭಿನ್ನ ಕ್ರಿಯೆಯ ಸ್ಥಳೀಯ ವಿಪರೀತಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಸ್ಥಿತಿಯು ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಮೊದಲ-ಕ್ರಮದ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:
.

ಈ ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸ್ಥಾಯಿ.

ಇನ್ನೊಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಒಂದು ವಿಪರೀತಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ರೂಪಿಸಬಹುದು: ತೀವ್ರ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸಹ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ - ತೀವ್ರ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿನ ಕ್ರಿಯೆಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತವೆ.

ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಅಧ್ಯಯನಗಳಿಗೆ ಒಳಪಡಿಸಬೇಕು - ಸ್ಥಳೀಯ ತೀವ್ರತೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ತೃಪ್ತವಾಗಿವೆಯೇ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ. ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿರದ ಯಾವುದಾದರೂ, ಅದು ಯಾವಾಗಲೂ ಋಣಾತ್ಮಕ (ಧನಾತ್ಮಕ) ಆಗಿದ್ದರೆ, ಕಾರ್ಯವು ಗರಿಷ್ಠ (ಕನಿಷ್ಠ) ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಶೂನ್ಯ ಏರಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಅದು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗಬಹುದಾದರೆ, ತೀವ್ರತೆಯ ಪ್ರಶ್ನೆಯು ತೆರೆದಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದಾದರೆ, ಸ್ಥಾಯಿ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ತೀವ್ರತೆಯಿಲ್ಲ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಭೇದಾತ್ಮಕ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ, ಅದನ್ನು ನಾವು ಇಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ, ಸ್ಥಾಯಿ ಹಂತದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು
, ನಂತರ ಒಂದು ವಿಪರೀತವಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಎರಡನೇ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಚಿಹ್ನೆಯು ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ
, ಅಂದರೆ ಒಂದು ವೇಳೆ
, ನಂತರ ಇದು ಗರಿಷ್ಠ, ಮತ್ತು ವೇಳೆ
, ನಂತರ ಇದು ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ
, ನಂತರ ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ತೀವ್ರತೆ ಇಲ್ಲ, ಮತ್ತು ವೇಳೆ
, ನಂತರ ತೀವ್ರತೆಯ ಪ್ರಶ್ನೆಯು ತೆರೆದಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1. ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಹುಡುಕಿ
.

ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಡಿಫರೆನ್ಸಿಯೇಶನ್ ವಿಧಾನದಿಂದ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

ln z = ln 2 + ln (x + y) + ln (1 + xy) – ln (1 + x 2) – ln (1 + y 2)

ಅಂತೆಯೇ
.

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಹೀಗಾಗಿ, ನಾಲ್ಕು ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳು (1; 1), (1; -1), (-1; 1) ಮತ್ತು (-1; -1) ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ.

ಎರಡನೇ ಆದೇಶದ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ln (z x `) = ln 2 + ln (1 - x 2) -2ln (1 + x 2)

ಅಂತೆಯೇ
;
.

ಏಕೆಂದರೆ
, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಚಿಹ್ನೆ
ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ
. ಈ ಎರಡೂ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದವು ಯಾವಾಗಲೂ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಆದ್ದರಿಂದ ನೀವು ಅಂಶದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು ಅಥವಾ x (x 2 - 3) ಮತ್ತು y (y 2 - 3) ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸಹ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ನಾವು ಪ್ರತಿ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ವಿಪರೀತ ಸ್ಥಿತಿಯ ನೆರವೇರಿಕೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ.

ಪಾಯಿಂಟ್ (1; 1) ಗಾಗಿ ನಾವು 1*(1 2 - 3) = -2 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ< 0. Т.к. произведение двух отрицательных чисел
> 0, ಮತ್ತು
< 0, в точке (1; 1) можно найти максимум. Он равен
= 2*(1 + 1)*(1 +1*1)/((1 +1 2)*(1 +1 2)) = = 8/4 = 2.

ಪಾಯಿಂಟ್ (1; -1) ಗಾಗಿ ನಾವು 1*(1 2 - 3) = -2 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ< 0 и (-1)*((-1) 2 – 3) = 2 >0. ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ
< 0, в этой точке экстремума нет. Аналогично можно показать, что нет экстремума в точке (-1; 1).

ಬಿಂದುವಿಗೆ (-1; -1) ನಾವು (-1)*((-1) 2 - 3) = 2 > 0 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಎರಡು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ
> 0, ಮತ್ತು
> 0, ಹಂತದಲ್ಲಿ (-1; -1) ನೀವು ಕನಿಷ್ಠವನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ಇದು 2*((-1) + (-1))*(1 +(-1)*(-1))/((1 +(-1) 2)*(1 +(-1) 2) ) = -8/4 = = -2.

ಹುಡುಕಿ ಜಾಗತಿಕಗರಿಷ್ಠ ಅಥವಾ ಕನಿಷ್ಠ (ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ ಅಥವಾ ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯ) ಸ್ಥಳೀಯ ವಿಪರೀತಕ್ಕಿಂತ ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನ ಗಡಿಯಲ್ಲಿಯೂ ಸಾಧಿಸಬಹುದು. ಈ ಪ್ರದೇಶದ ಗಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಕಾರ್ಯದ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದು ಯಾವಾಗಲೂ ಸುಲಭವಲ್ಲ.