ಪೆರಿಕಲ್ಸ್ (c. 490–429 BC) ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಕ್ ರಾಜಕಾರಣಿ, ತಂತ್ರಜ್ಞ...
ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಕ್ರಿಯೆಯ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಮತ್ತು "ಸಾಮಾನ್ಯ" ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೇನು:
1) ನಾವು ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಾಗ, ಅದು ವೇರಿಯಬಲ್ ಸ್ಥಿರವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ.
2) ನಾವು ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಾಗ, ಅದು ವೇರಿಯಬಲ್ ಸ್ಥಿರವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ.
3) ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಕೋಷ್ಟಕವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ ( , ಅಥವಾ ಕೆಲವು) ಯಾವ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಹಂತ ಎರಡು. ನಾವು ಎರಡನೇ ಆದೇಶದ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು ಇವೆ.
ಹುದ್ದೆಗಳು:
ಅಥವಾ - "x" ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಎರಡನೇ ಉತ್ಪನ್ನ
ಅಥವಾ - "y" ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಎರಡನೇ ಉತ್ಪನ್ನ
ಅಥವಾ - ಮಿಶ್ರಿತವ್ಯುತ್ಪನ್ನ "x y ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ"
ಅಥವಾ - ಮಿಶ್ರಿತವ್ಯುತ್ಪನ್ನ "x ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ"
ಎರಡನೇ ಉತ್ಪನ್ನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಏನೂ ಇಲ್ಲ. ಸರಳ ಪದಗಳಲ್ಲಿ, ಎರಡನೆಯ ಉತ್ಪನ್ನವು ಮೊದಲ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ.
ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ, ನಾನು ಈಗಾಗಲೇ ಕಂಡುಬಂದಿರುವ ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯುತ್ತೇನೆ:
ಮೊದಲು ನಾವು ಮಿಶ್ರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ:
ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಎಲ್ಲವೂ ಸರಳವಾಗಿದೆ: ನಾವು ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಮತ್ತೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತೇವೆ, ಆದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಈಗಾಗಲೇ "y" ಮೂಲಕ.
ಹಾಗೆಯೇ:
ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಗಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ಆಂಶಿಕ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ನಿರಂತರವಾದಾಗ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ:
ಹೀಗಾಗಿ, ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಮಿಶ್ರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಮೊದಲ ಆದೇಶದ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಇದು ತುಂಬಾ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ.
"x" ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ನಾವು ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.
ಯಾವುದೇ ಆವಿಷ್ಕಾರಗಳಿಲ್ಲ, ನಾವು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಮತ್ತೆ "X" ನಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿ:
ಹಾಗೆಯೇ:
ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾಗ , ನೀವು ತೋರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು ಹೆಚ್ಚಿದ ಗಮನ, ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಯಾವುದೇ ಪವಾಡದ ಸಮಾನತೆಗಳಿಲ್ಲದ ಕಾರಣ.
ಉದಾಹರಣೆ 2
ಫಂಕ್ಷನ್ನ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಕ್ರಮದ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ
ಸ್ವಯಂ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ (ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತರ).
ಕೆಲವು ಅನುಭವದೊಂದಿಗೆ, ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಸಂಖ್ಯೆ 1, 2 ರಿಂದ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ನೀವು ಮೌಖಿಕವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೀರಿ.
ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಗೆ ಹೋಗೋಣ.
ಉದಾಹರಣೆ 3
ಅದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ. ಮೊದಲ ಆದೇಶದ ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.
ಪರಿಹಾರ: ಮೊದಲ ಆದೇಶದ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:
ಸಬ್‌ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್‌ಗೆ ಗಮನ ಕೊಡಿ: "x" ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಅದು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲು ನಿಷೇಧಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನ್ಯಾವಿಗೇಟ್ ಮಾಡಲು ಸುಲಭವಾಗುವಂತೆ ಆರಂಭಿಕರಿಗಾಗಿ ಈ ಗುರುತು ತುಂಬಾ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ.
ಹೆಚ್ಚಿನ ಕಾಮೆಂಟ್‌ಗಳು:
(1) ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯ ಹೊರಗಿನ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು , ಮತ್ತು, ಆದ್ದರಿಂದ, ಅವರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
(2) ಬೇರುಗಳನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವುದು ಹೇಗೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಮರೆಯಬೇಡಿ.
(1) ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
(2) ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ 
.
(3) ಇದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಮರೆಯಬೇಡಿ (ಸಂಕೀರ್ಣವಾದವುಗಳಲ್ಲಿ ಸರಳವಾದರೂ). ನಾವು ಅನುಗುಣವಾದ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ: 
.
ಈಗ ನಾವು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮದ ಮಿಶ್ರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:
ಇದರರ್ಥ ಎಲ್ಲಾ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಸರಿಯಾಗಿವೆ.
ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ. ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಕಾರ್ಯದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯದ ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಏನು ಎಂದು ಹೇಳಲು ಯಾವುದೇ ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ. ಈ ವಿಭಿನ್ನತೆಯನ್ನು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಬರೆಯುವುದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ.
ಎರಡು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಫಂಕ್ಷನ್ನ ಒಟ್ಟು ಮೊದಲ-ಕ್ರಮದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:
.
ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ:
ಅಂದರೆ, ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ನೀವು ಮೊದಲ ಆದೇಶದ ಈಗಾಗಲೇ ಕಂಡುಬರುವ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಐಕಾನ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಇದು ಮತ್ತು ಅಂತಹುದೇ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಅಂಕಿಗಳಲ್ಲಿ ಬರೆಯುವುದು ಉತ್ತಮ:
ಉದಾಹರಣೆ 4
ಫಂಕ್ಷನ್ನ ಮೊದಲ ಆರ್ಡರ್ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ 
. ಅದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ. ಮೊದಲ ಆದೇಶದ ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.
ಇದು ನೀವೇ ಮಾಡಬೇಕಾದ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಮಾದರಿ ವಿನ್ಯಾಸವು ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿದೆ.
ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.
ಉದಾಹರಣೆ 5
(1) ನಾವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ . ಪಾಠದಿಂದ ಸಂಯುಕ್ತ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಬಹಳ ಮುಖ್ಯವಾದ ಅಂಶವನ್ನು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು: ನಾವು ಕೋಷ್ಟಕದ ಪ್ರಕಾರ ಸೈನ್ (ಬಾಹ್ಯ ಕಾರ್ಯ) ಅನ್ನು ಕೊಸೈನ್ ಆಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಹೊಂದಿರುವ ಹೂಡಿಕೆ (ಆಂತರಿಕ ಕಾರ್ಯ) ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
(2) ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಬೇರುಗಳ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ: , ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸ್ಥಿರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಮೂಲವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ.
ಅದೇ ರೀತಿ: 
ನಾವು ಮೊದಲ ಆದೇಶದ ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:
ಉದಾಹರಣೆ 6
ಫಂಕ್ಷನ್ನ ಮೊದಲ ಆರ್ಡರ್ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ 
.
ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.
ಸ್ವಯಂ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ (ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತರ). ನಾನು ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪೋಸ್ಟ್ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ.
ಆಗಾಗ್ಗೆ, ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 7
ಫಂಕ್ಷನ್ನ ಮೊದಲ ಕ್ರಮದ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
(1) ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ನಿಯಮವನ್ನು ನಾವು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.
(2) ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಪದವನ್ನು ಸ್ಥಿರವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ "x" - ಕೇವಲ "y" ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಏನೂ ಇಲ್ಲ.
(ನಿಮಗೆ ಗೊತ್ತಾ, ನೀವು ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ತಿರುಗಿಸಿದಾಗ ಅದು ಯಾವಾಗಲೂ ಒಳ್ಳೆಯದು.)
ಎರಡನೇ ಅವಧಿಗೆ, ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮೂಲಕ, ಬದಲಿಗೆ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನಲ್ಲಿ ಏನೂ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ - ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂಬುದು ಮುಖ್ಯ ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ "x" ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನೀವು ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಮೂರನೇ ಅವಧಿಗೆ, ನಾವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಿ. x ಮತ್ತು y ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಸ್ಥಿರಗಳಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬದಲಾಗಬಹುದು ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಬದಲಾಗದೆ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ. y ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬದಲಾಗದೆ ಇರಿಸಿಕೊಂಡು ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ x ಅನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸೋಣ. ನಂತರ z ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು x ನಿಂದ z ನ ಭಾಗಶಃ ಹೆಚ್ಚಳ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು x ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, .
ಅಂತೆಯೇ, ನಾವು y ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ z ನ ಭಾಗಶಃ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: .
z ಕಾರ್ಯದ ಒಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಒಂದು ಮಿತಿ ಇದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ವೇರಿಯಬಲ್ x ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಪಾಯಿಂಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಫಂಕ್ಷನ್ನ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಚಿಹ್ನೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
.
ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ x ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಚಿಹ್ನೆಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ 
.
y ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
ಹೀಗಾಗಿ, ಹಲವಾರು (ಎರಡು, ಮೂರು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ) ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕ್ರಿಯೆಯ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಈ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಒಂದು ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಉಳಿದ ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸ್ಥಿರತೆಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಕ್ರಿಯೆಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸೂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ (ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕ್ರಮವಾಗಿ x ಅಥವಾ y ಅನ್ನು ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ).
ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಮೊದಲ ಕ್ರಮದ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಕಾರ್ಯಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಈ ಕಾರ್ಯಗಳು ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಬಹುದು, ಇದನ್ನು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
; 
;
; 
.
ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯದ 1 ನೇ ಮತ್ತು 2 ನೇ ಕ್ರಮದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು.
ಫಂಕ್ಷನ್ನ ಒಟ್ಟು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ (ಸೂತ್ರ 2.5) ಅನ್ನು ಫಸ್ಟ್-ಆರ್ಡರ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸೂತ್ರವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ:
(2.5) ಅಥವಾ 
, ಎಲ್ಲಿ,
ಕಾರ್ಯದ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು.
ಕಾರ್ಯವು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮದ ನಿರಂತರ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ. ಎರಡನೇ ಆರ್ಡರ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಅನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:
ಇಲ್ಲಿಂದ: 
. ಸಾಂಕೇತಿಕವಾಗಿ ಇದನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ:
.
ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ.
ಕ್ರಿಯೆಯ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್, ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ, ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.
F(x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪ್ರಾಚೀನಕೊಟ್ಟಿರುವ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ f(x), F"(x)=f(x), ಅಥವಾ, ಇದು ಒಂದೇ ಆಗಿದ್ದರೆ, dF(x)=f(x)dx.
ಪ್ರಮೇಯ. ಒಂದು ಫಂಕ್ಷನ್ f(x), ಪರಿಮಿತ ಅಥವಾ ಅನಂತ ಉದ್ದದ ಕೆಲವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (X) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ, F(x) ಎಂಬ ಒಂದು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದು ಅನಂತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ; ಅವೆಲ್ಲವೂ F(x)+C ಎಂಬ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ, ಅಲ್ಲಿ C ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಕೆಲವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಅನಂತ ಉದ್ದದ ಕೆಲವು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ f(x) ಗಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಫಂಕ್ಷನ್‌ನಿಂದ f(x) [ಅಥವಾ f(x)dx ] ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ಮತ್ತು ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ .
F(x) ಎಂಬುದು f(x) ಗಾಗಿ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದ್ದರೆ, ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ
, ಇಲ್ಲಿ ಸಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಎಫ್ "(x)=f(x) ಮತ್ತು, ಆದ್ದರಿಂದ, dF(x)=f(x) dx ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ. ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ (7.1), f(x) ಅನ್ನು ಇಂಟಿಗ್ರಾಂಡ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು f( x) dx ಅನ್ನು ಸಮಗ್ರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಹಲವಾರು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನಿಯೋಜನೆಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ನಿಯಮಗಳು ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಒಂದೇ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೆಂದರೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಸ್ಥಿರ (ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆ) ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು.
ಸೂತ್ರ
$ z(x,y) $ ಎರಡು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗಾಗಿ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ $ z"_x, z"_y $ ನಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ:
ಮೊದಲ ಆದೇಶದ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು
$$ z"_x = \frac(\partial z)(\partial x) $$
$$ z"_y = \frac(\partial z)(\partial y) $$
ಎರಡನೇ ಆದೇಶದ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು
$$ z""_(xx) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial x) $$
$$ z""_(yy) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial y) $$
ಮಿಶ್ರ ಉತ್ಪನ್ನ
$$ z""_(xy) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y) $$
$$ z""_(yx) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial x) $$
ಸಂಯುಕ್ತ ಕ್ರಿಯೆಯ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ
a) $ z (t) = f(x(t), y(t)) $ ಆಗಿರಲಿ, ನಂತರ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
$$ \frac(dz)(dt) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(dx)(dt) + \frac(\partial z)(\partial y) \cdot \frac (dy)(dt) $$
b) $ z (u,v) = z(x(u,v),y(u,v)) $ ಆಗಿರಲಿ, ನಂತರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ:
$$ \frac(\partial z)(\partial u) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial u) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial u) $$
$$ \frac(\partial z)(\partial v) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial v) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial v) $$
ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ನೀಡಿದ ಕ್ರಿಯೆಯ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು
a) $ F(x,y(x)) = 0 $, ನಂತರ $$ \frac(dy)(dx) = -\frac(f"_x)(f"_y) $$
ಬಿ) $ F(x,y,z)=0 $, ನಂತರ $$ z"_x = - \frac(F"_x)(F"_z); z"_y = - \frac(F"_y)( F"_z) $$
ಪರಿಹಾರ ಉದಾಹರಣೆಗಳು
| ಉದಾಹರಣೆ 1 |
| ಮೊದಲ ಆರ್ಡರ್ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ $ z (x,y) = x^2 - y^2 + 4xy + 10 $ |
| ಪರಿಹಾರ |
|
$ x $ ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು $ y $ ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯ (ಸಂಖ್ಯೆ) ಎಂದು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ: $$ z"_x = (x^2-y^2+4xy+10)"_x = 2x - 0 + 4y + 0 = 2x+4y $$ $ y $ ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಫಂಕ್ಷನ್ನ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, $ y $ ಅನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ: $$ z"_y = (x^2-y^2+4xy+10)"_y = -2y+4x $$ ನಿಮ್ಮ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಸಾಧ್ಯವಾಗದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ನಮಗೆ ಕಳುಹಿಸಿ. ನಾವು ವಿವರವಾದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತೇವೆ. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಪ್ರಗತಿಯೊಂದಿಗೆ ನೀವೇ ಪರಿಚಿತರಾಗಲು ಮತ್ತು ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಶಿಕ್ಷಕರಿಂದ ಸಮಯೋಚಿತವಾಗಿ ಕ್ರೆಡಿಟ್ ಪಡೆಯಲು ಇದು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ! |
| ಉತ್ತರ |
| $$ z"_x = 2x+4y; z"_y = -2y+4x $$ |
| ಉದಾಹರಣೆ 2 |
| ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಫಂಕ್ಷನ್ $ z = e^(xy) $ನ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ |
| ಪರಿಹಾರ |
|
ಮೊದಲು ನೀವು ಮೊದಲ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು, ಮತ್ತು ನಂತರ ಅವುಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು, ನೀವು ಎರಡನೇ ಆದೇಶದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. $y $ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರಲಿ: $$ z"_x = (e^(xy))"_x = e^(xy) \cdot (xy)"_x = ye^(xy) $$ ಈಗ ನಾವು $ x $ ಅನ್ನು ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿ ಹೊಂದಿಸೋಣ: $$ z"_y = (e^(xy))"_y = e^(xy) \cdot (xy)"_y = xe^(xy) $$ ಮೊದಲ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಅದೇ ರೀತಿ ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಸ್ಥಿರ $y$ ಹೊಂದಿಸಿ: $$ z""_(xx) = (z"_x)"_x = (ye^(xy))"_x = (y)"_x e^(xy) + y(e^(xy))"_x = 0 + ye^(xy)\cdot (xy)"_x = y^2e^(xy) $$ $ x $ ಸ್ಥಿರವನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ: $$ z""_(yy) = (z"_y)"_y = (xe^(xy))"_y = (x)"_y e^(xy) + x(e^(xy))"_y = 0 + x^2e^(xy) = x^2e^(xy) $$ ಈಗ ಮಿಶ್ರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಉಳಿದಿದೆ. ನೀವು $ y $ ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ $ z"_x $ ಅನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬಹುದು ಅಥವಾ $ x $ ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ನೀವು $ z"_y $ ಅನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ $ z"_(xy) = z""_(yx ) $ $$ z""_(xy) = (z"_x)"_y = (ye^(xy))"_y = (y)"_y e^(xy) + y (e^(xy))"_y = ye^(xy)\cdot (xy)"_y = yxe^(xy) $$ |
| ಉತ್ತರ |
| $$ z"_x = ye^(xy); z"_y = xe^(xy); z""_(xy) = yxe^(xy) $$ |
| ಉದಾಹರಣೆ 4 |
| $ 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ ಒಂದು ಸೂಚ್ಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ $ F(x,y,z) = 0 $. ಮೊದಲ ಆದೇಶದ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ. |
| ಪರಿಹಾರ |
|
ನಾವು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸ್ವರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ: $ F(x,y,z) = 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ: $$ z"_x (y,z - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_x = 3 x^2 z - 4 $$ $$ z"_y (x,y - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_y = 3z^2 $$ |
| ಉತ್ತರ |
| $$ z"_x = 3x^2 z - 4; z"_y = 3z^2; $$ |
ಎರಡು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡೋಣ. ವಾದವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸೋಣ ಮತ್ತು ವಾದವನ್ನು ಬದಲಾಗದೆ ಬಿಡೋಣ. ನಂತರ ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಭಾಗಶಃ ಏರಿಕೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
ಅಂತೆಯೇ, ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ಗೆ ಇನ್ಕ್ರಿಮೆಂಟ್ ನೀಡುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಫಂಕ್ಷನ್ನ ಭಾಗಶಃ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಾಯಿಂಟ್‌ನಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯದ ಪೂರ್ಣ ಹೆಚ್ಚಳ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 4. ಈ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಎರಡು ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳ ಫಂಕ್ಷನ್ನ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಫಂಕ್ಷನ್ನ ಅನುಗುಣವಾದ ಭಾಗಶಃ ಹೆಚ್ಚಳದ ಅನುಪಾತದ ಮಿತಿಯಾಗಿದ್ದು, ಎರಡನೆಯದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರಿದಾಗ ನೀಡಿದ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ (ಈ ಮಿತಿ ಇದ್ದರೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ). ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಅಥವಾ, ಅಥವಾ.
ಆದ್ದರಿಂದ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:
ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಕಾರ್ಯದಂತೆ ಅದೇ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಸೂತ್ರಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ, ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮಾಡುವಾಗ, ಅದನ್ನು ಸ್ಥಿರವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮಾಡುವಾಗ, ಅದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ನಿರಂತರ.
ಉದಾಹರಣೆ 3. ಕಾರ್ಯಗಳ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ:
ಪರಿಹಾರ. a) ಹುಡುಕಲು ನಾವು ಸ್ಥಿರವಾದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:
ಅಂತೆಯೇ, ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಊಹಿಸಿ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 5. ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಈ ಕಾರ್ಯದ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಹೆಚ್ಚಳ, ಅಂದರೆ.
ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಅವುಗಳ ಏರಿಕೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ. , ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು
ಉದಾಹರಣೆ 4. ಕಾರ್ಯದ ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಪರಿಹಾರ. ಅಂದಿನಿಂದ, ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ
ಹೆಚ್ಚಿನ ಆದೇಶಗಳ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು
ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಮೊದಲ ಕ್ರಮದ ಅಥವಾ ಮೊದಲ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 6. ಫಂಕ್ಷನ್ನ ಎರಡನೇ-ಕ್ರಮದ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಮೊದಲ-ಕ್ರಮದ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಾಗಿವೆ.
ನಾಲ್ಕು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿವೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ:
3ನೇ, 4ನೇ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಆದೇಶಗಳ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು ಹೊಂದಿರುವ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ:
ವಿಭಿನ್ನ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾದ ಎರಡನೇ ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕ್ರಮದ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಮಿಶ್ರ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ, ಇವುಗಳು ಉತ್ಪನ್ನಗಳಾಗಿವೆ. ಮಿಶ್ರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ನಿರಂತರವಾದಾಗ, ಸಮಾನತೆ ನಡೆಯುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.
ಉದಾಹರಣೆ 5. ಕ್ರಿಯೆಯ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ
ಪರಿಹಾರ. ಈ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಉದಾಹರಣೆ 3 ರಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ:
x ಮತ್ತು y ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
