एक बिंदु उदाहरण पर किसी फ़ंक्शन का ग्रेडिएंट ढूंढें। ग्रेडिएंट फ़ंक्शन

यदि अंतरिक्ष या अंतरिक्ष के भाग के प्रत्येक बिंदु पर एक निश्चित मात्रा का मान निर्धारित किया जाता है, तो वे कहते हैं कि इस मात्रा का क्षेत्र निर्दिष्ट है। एक क्षेत्र को अदिश कहा जाता है यदि विचाराधीन मात्रा अदिश है, अर्थात। पूरी तरह से इसके संख्यात्मक मूल्य द्वारा विशेषता। उदाहरण के लिए, तापमान क्षेत्र. अदिश क्षेत्र अदिश बिंदु फलन u = /(M) द्वारा दिया जाता है। यदि एक कार्टेशियन समन्वय प्रणाली को अंतरिक्ष में पेश किया जाता है, तो तीन चर x, yt z का एक कार्य होता है - बिंदु M के निर्देशांक: परिभाषा। एक अदिश क्षेत्र की समतल सतह उन बिंदुओं का समूह है जिस पर फ़ंक्शन f(M) समान मान लेता है। एक समतल सतह का समीकरण उदाहरण 1. एक अदिश क्षेत्र की समतल सतहों का पता लगाएं वेक्टर विश्लेषण अदिश क्षेत्र की सतह और स्तर रेखाएं दिशात्मक व्युत्पन्न व्युत्पन्न अदिश क्षेत्र ढाल एक ग्रेडिएंट के मूल गुण एक ग्रेडिएंट की अपरिवर्तनीय परिभाषा एक ग्रेडिएंट की गणना के लिए नियम -4 परिभाषा के अनुसार , एक समतल सतह का समीकरण होगा। यह एक गोले का समीकरण है (एफ 0 के साथ) जिसका केंद्र मूल बिंदु पर है। एक अदिश क्षेत्र को समतल कहा जाता है यदि क्षेत्र एक निश्चित तल के समानांतर सभी तलों में समान हो। यदि संकेतित तल को xOy तल के रूप में लिया जाता है, तो फ़ील्ड फ़ंक्शन z निर्देशांक पर निर्भर नहीं होगा, अर्थात, यह केवल तर्क x और y का एक फ़ंक्शन होगा। एक समतल क्षेत्र को स्तर रेखाओं का उपयोग करके चित्रित किया जा सकता है - a समतल पर बिंदुओं का समूह जिस पर फ़ंक्शन /(x, y) का एक और अर्थ भी है। एक स्तर रेखा का समीकरण - उदाहरण 2. एक अदिश क्षेत्र की स्तर रेखाएँ खोजें स्तर रेखाएँ समीकरणों द्वारा दी जाती हैं। जब c = 0, हमें सीधी रेखाओं की एक जोड़ी मिलती है, तो हमें अतिपरवलय का एक परिवार मिलता है (चित्र 1)। 1.1. दिशात्मक व्युत्पन्न मान लीजिए कि अदिश फलन u = /(Af) द्वारा परिभाषित एक अदिश क्षेत्र है। आइए बिंदु Afo लें और वेक्टर I द्वारा निर्धारित दिशा चुनें। आइए एक और बिंदु M लें ताकि वेक्टर M0M वेक्टर 1 के समानांतर हो (चित्र 2)। आइए हम MoM वेक्टर की लंबाई को A/ से और D1 की गति के अनुरूप फ़ंक्शन /(Af) - /(Afo) की वृद्धि को Di से निरूपित करें। नजरिया तय करता है औसत गति दी गई दिशा में प्रति इकाई लंबाई अदिश क्षेत्र में परिवर्तन। आइए अब शून्य की ओर बढ़ते हैं ताकि वेक्टर M0M हर समय वेक्टर I के समानांतर रहे। परिभाषा। यदि D/O पर संबंध (5) की एक सीमित सीमा है, तो इसे दिए गए दिशा I के लिए दिए गए बिंदु Afo पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न कहा जाता है और इसे प्रतीक 3!^ द्वारा दर्शाया जाता है। तो, परिभाषा के अनुसार, यह परिभाषा समन्वय प्रणाली की पसंद से संबंधित नहीं है, यानी, यह **भिन्न प्रकृति की है। आइए कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में दिशात्मक व्युत्पन्न के लिए एक अभिव्यक्ति खोजें। फ़ंक्शन को एक बिंदु पर अवकलनीय होने दें। आइए एक बिंदु पर /(Af) के मान पर विचार करें। फिर फ़ंक्शन की कुल वृद्धि को निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है: जहां और प्रतीकों का मतलब है कि आंशिक व्युत्पन्न की गणना बिंदु एएफओ पर की जाती है। इसलिए यहाँ मात्राएँ jfi, ^ वेक्टर की दिशा कोसाइन हैं। चूँकि सदिश MoM और I सह-दिशात्मक हैं, उनकी दिशा कोज्या समान हैं: चूँकि M Afo, हमेशा सदिश 1 के समानांतर एक सीधी रेखा पर होता है, कोण स्थिर होते हैं इसलिए अंत में, समानता (7) और (8) से हम Eamuan प्राप्त करते हैं है 1. विवरण व्युत्पन्न फ़ंक्शन के व्युत्पन्न हैं और निर्देशांक अक्षों की दिशाओं के साथ हैं, इसलिए-उदाहरण 3. बिंदु की दिशा में फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें वेक्टर की लंबाई होती है। इसकी दिशा कोसाइन: सूत्र (9) के अनुसार, हमारे पास यह तथ्य होगा कि, इसका मतलब है कि आयु की दी गई दिशा में एक बिंदु पर अदिश क्षेत्र - एक समतल क्षेत्र के लिए, एक बिंदु पर दिशा I के संबंध में व्युत्पन्न है सूत्र द्वारा गणना की गई जहां a वेक्टर I द्वारा अक्ष ओह के साथ बनाया गया कोण है। Зммчмм 2. दिशा I में व्युत्पन्न की गणना करने के लिए सूत्र (9) किसी दिए गए बिंदु पर Afo तब बल में रहता है जब बिंदु M एक वक्र के साथ बिंदु Mo की ओर जाता है जिसके लिए वेक्टर I बिंदु PrIShr पर स्पर्शरेखा है 4. अदिश के व्युत्पन्न की गणना करें बिंदु Afo(l, 1) पर फ़ील्ड। इस वक्र की दिशा में एक परवलय से संबंधित (बढ़ते भुज की दिशा में)। किसी बिंदु पर परवलय की दिशा] को इस बिंदु पर परवलय की स्पर्श रेखा की दिशा माना जाता है (चित्र 3)। मान लीजिए कि बिंदु Afo पर परवलय की स्पर्शरेखा ऑक्स अक्ष के साथ एक कोण o बनाती है। फिर स्पर्शरेखा की दिशा कोज्याएँ कहाँ से आती हैं? आइए बिंदु पर और के मानों की गणना करें। अब सूत्र (10) का प्रयोग करने पर हमें प्राप्त होता है। वृत्त की दिशा के अनुदिश एक बिंदु पर अदिश क्षेत्र का अवकलज ज्ञात कीजिए। वृत्त के सदिश समीकरण का रूप होता है। हम वृत्त की स्पर्शरेखा की इकाई वेक्टर m पाते हैं। बिंदु पैरामीटर के मान से मेल खाता है। बिंदु Afo पर r का मान बराबर होगा। यहां से हम वृत्त की स्पर्शरेखा की दिशा कोसाइन प्राप्त करते हैं बिंदु। आइए बिंदु पर दिए गए अदिश क्षेत्र के आंशिक व्युत्पन्न के मूल्यों की गणना करें। इसका मतलब वांछित व्युत्पन्न है। अदिश क्षेत्र ढाल मान लीजिए अदिश क्षेत्र को एक अदिश फलन द्वारा परिभाषित किया जाता है जिसे अवकलनीय माना जाता है। परिभाषा। किसी दिए गए बिंदु M पर अदिश क्षेत्र का ग्रेडिएंट एक वेक्टर है जिसे प्रतीक ग्रेड द्वारा दर्शाया जाता है और समानता द्वारा परिभाषित किया जाता है। यह स्पष्ट है कि यह वेक्टर फ़ंक्शन / और बिंदु M दोनों पर निर्भर करता है जिस पर इसके व्युत्पन्न की गणना की जाती है। मान लीजिए 1 दिशा में एक इकाई वेक्टर है। फिर दिशात्मक व्युत्पन्न का सूत्र निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है:। इस प्रकार, दिशा 1 में फ़ंक्शन u का व्युत्पन्न फ़ंक्शन u(M) के ग्रेडिएंट के स्केलर उत्पाद और दिशा I. 2.1 के यूनिट वेक्टर 1° के बराबर है। ग्रेडिएंट प्रमेय के मूल गुण 1. अदिश क्षेत्र का ग्रेडिएंट समतल सतह (या यदि क्षेत्र समतल है तो समतल रेखा) के लंबवत है। (2) आइए हम एक मनमाने बिंदु M से होकर एक समतल सतह u = const खींचें और इस सतह पर बिंदु M से गुजरने वाला एक चिकना वक्र L चुनें (चित्र 4)। मान लीजिए कि I बिंदु M पर वक्र L की एक वेक्टर स्पर्श रेखा है। चूंकि समतल सतह पर किसी भी बिंदु Mj e L के लिए u(M) = u(M|) है, तो दूसरी ओर, = (क्रमांक, 1°)। इसीलिए। इसका मतलब यह है कि वेक्टर ग्रेड और और 1° ऑर्थोगोनल हैं। इस प्रकार, वेक्टर ग्रेड और बिंदु एम पर स्तर की सतह के किसी भी स्पर्शरेखा के लिए ऑर्थोगोनल है। इस प्रकार, यह बिंदु एम पर स्तर की सतह के लिए ऑर्थोगोनल है। प्रमेय 2। ग्रेडिएंट का उद्देश्य फ़ील्ड फ़ंक्शन को बढ़ाना है। पहले, हमने साबित किया था कि अदिश क्षेत्र की ढाल सामान्य से समतल सतह तक निर्देशित होती है, जिसे या तो फ़ंक्शन यू (एम) के बढ़ने की दिशा में या इसके घटने की दिशा में उन्मुख किया जा सकता है। आइए हम बढ़ते फलन ti(M) की दिशा में उन्मुख, समतल सतह के सामान्य को n से निरूपित करें, और इस सामान्य की दिशा में फलन u का व्युत्पन्न ज्ञात करें (चित्र 5)। हमारे पास चित्र 5 की स्थिति के अनुसार है और इसलिए वेक्टर विश्लेषण स्केलर फ़ील्ड सतहें और स्तर रेखाएं दिशा में व्युत्पन्न स्केलर फ़ील्ड का व्युत्पन्न ग्रेडिएंट ग्रेडिएंट के मूल गुण ग्रेडिएंट की अपरिवर्तनीय परिभाषा ग्रेडिएंट की गणना के लिए नियम यह इस प्रकार है कि ग्रेड है उसी दिशा में निर्देशित, जिसे हमने सामान्य n चुना था, यानी फ़ंक्शन u(M) को बढ़ाने की दिशा में। प्रमेय 3. ढाल की लंबाई क्षेत्र में किसी दिए गए बिंदु पर दिशा के संबंध में सबसे बड़े व्युत्पन्न के बराबर है (यहां चेक को किसी दिए गए बिंदु एम पर सभी संभावित दिशाओं के साथ लिया जाता है)। हमारे पास वेक्टर 1 और ग्रेड एन के बीच का कोण कहां है। चूंकि सबसे बड़ा मान उदाहरण 1 है। एक बिंदु पर अदिश क्षेत्र के सबसे बड़े परिवर्तन की दिशा और निर्दिष्ट बिंदु पर इस सबसे बड़े परिवर्तन का परिमाण भी ज्ञात करें। अदिश क्षेत्र में सबसे बड़े परिवर्तन की दिशा एक वेक्टर द्वारा इंगित की जाती है। हमारे पास यह है कि यह वेक्टर एक बिंदु पर क्षेत्र में सबसे बड़ी वृद्धि की दिशा निर्धारित करता है। इस बिंदु पर सबसे बड़े क्षेत्र परिवर्तन का परिमाण 2.2 है। ग्रेडिएंट की अपरिवर्तनीय परिभाषा वे मात्राएँ जो अध्ययन के तहत वस्तु के गुणों की विशेषता बताती हैं और समन्वय प्रणाली की पसंद पर निर्भर नहीं करती हैं, दी गई वस्तु की अपरिवर्तनीय कहलाती हैं। उदाहरण के लिए, एक वक्र की लंबाई इस वक्र का एक अपरिवर्तनीय है, लेकिन ऑक्स अक्ष के साथ वक्र का स्पर्शरेखा कोण एक अपरिवर्तनीय नहीं है। ऊपर सिद्ध अदिश क्षेत्र ग्रेडिएंट के तीन गुणों के आधार पर, हम ग्रेडिएंट की निम्नलिखित अपरिवर्तनीय परिभाषा दे सकते हैं। परिभाषा। स्केलर फील्ड ग्रेडिएंट एक वेक्टर है जो फील्ड फ़ंक्शन को बढ़ाने की दिशा में समतल सतह पर सामान्य रूप से निर्देशित होता है और इसकी लंबाई दिशा में सबसे बड़े व्युत्पन्न (किसी दिए गए बिंदु पर) के बराबर होती है। बढ़ते हुए क्षेत्र की दिशा में निर्देशित एक इकाई सामान्य वेक्टर बनें। फिर उदाहरण 2. दूरी की ढाल ज्ञात करें - कुछ निश्चित बिंदु, और M(x,y,z) - वर्तमान। 4 हमारे पास इकाई दिशा वेक्टर कहां है। ग्रेडिएंट की गणना के नियम जहां c एक स्थिर संख्या है। दिए गए सूत्र सीधे ग्रेडिएंट की परिभाषा और डेरिवेटिव के गुणों से प्राप्त किए जाते हैं। उत्पाद विभेदन के नियम के अनुसार, प्रमाण गुण के प्रमाण के समान है मान लीजिए F(u) एक अवकलनीय अदिश फलन है। फिर 4 फ़ेडिएंट की परिभाषा के अनुसार हम एक जटिल फलन के विभेदन के नियम को दाईं ओर के सभी पदों पर लागू करते हैं। हम विशेष रूप से, सूत्र (6) सूत्र उदाहरण 3 से अनुसरण करते हैं। सूत्र (3) का उपयोग करके और सूत्र का उपयोग करके फ़ंक्शन से त्रिज्या वेक्टर आर की दिशा के संबंध में व्युत्पन्न खोजें। परिणामस्वरूप, हम वह उदाहरण 4 प्राप्त करते हैं मान लीजिए कि एक समतल अदिश क्षेत्र दिया गया है - किसी बिंदु तल से इस तल के दो निश्चित बिंदुओं तक की दूरी। आइए हम फोकस एफजे और एफ] के साथ एक मनमाना दीर्घवृत्त पर विचार करें और सिद्ध करें कि दीर्घवृत्त के एक फोकस से निकलने वाली प्रकाश की प्रत्येक किरण, दीर्घवृत्त से परावर्तन के बाद, अपने दूसरे फोकस में समाप्त होती है। फ़ंक्शन की स्तर रेखाएं (7) वेक्टर विश्लेषण स्केलर फ़ील्ड सतहें और स्तर रेखाएं दिशात्मक व्युत्पन्न व्युत्पन्न स्केलर फ़ील्ड ग्रेडिएंट ग्रेडिएंट के मूल गुण ग्रेडिएंट की अपरिवर्तनीय परिभाषा ग्रेडिएंट समीकरणों की गणना के लिए नियम (8) फोकस के साथ दीर्घवृत्त के एक परिवार का वर्णन करते हैं अंक एफ) और एफजे। उदाहरण 2 के परिणाम के अनुसार, हमारे पास इस प्रकार है, किसी दिए गए क्षेत्र की ढाल इकाई वैक्टर आर पर निर्मित रोम्बस के विकर्ण के वेक्टर पीक्यू के बराबर है? और त्रिज्या सदिश. नाभि F| से बिंदु P(x, y) पर खींचा गया और Fj, और इसलिए इन त्रिज्या सदिशों के बीच के कोण के समद्विभाजक पर स्थित है (चित्र 6)। टूरोमो 1 के अनुसार, ग्रेडिएंट PQ बिंदु पर दीर्घवृत्त (8) के लंबवत है। इसलिए, चित्र 6. किसी भी बिंदु पर दीर्घवृत्त (8) का अभिलंब इस बिंदु पर खींचे गए त्रिज्या सदिशों के बीच के कोण को समद्विभाजित करता है। इससे और इस तथ्य से कि आपतन कोण प्रतिबिंब के कोण के बराबर है, हम प्राप्त करते हैं: दीर्घवृत्त के एक फोकस से निकलने वाली प्रकाश की किरण, इससे परावर्तित होकर, निश्चित रूप से इस दीर्घवृत्त के दूसरे फोकस में गिरेगी।

दिशा λ में एक अदिश फलन u के अवकलज के सूत्र पर विचार करें

दूसरे कारक किरण λ के साथ निर्देशित इकाई वेक्टर के प्रक्षेपण हैं।

आइए एक वेक्टर लें जिसका समन्वय अक्षों पर प्रक्षेपण चयनित बिंदु P(x, y, z) में आंशिक व्युत्पन्न के मान होंगे।

इस वेक्टर को फ़ंक्शन u (x, y, z) का ग्रेडिएंट कहा जाता है और इसे ग्रेडु या दर्शाया जाता है

परिभाषा। किसी फ़ंक्शन का ग्रेडिएंट u(x, y, z) एक वेक्टर है जिसका अनुमान इस फ़ंक्शन के आंशिक डेरिवेटिव के मान हैं, यानी।

किसी दिए गए दिशा में किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न फ़ंक्शन के ग्रेडिएंट और इस दिशा के इकाई वेक्टर के अदिश उत्पाद के बराबर होता है।

अदिश गुणनफल का विस्तार करने पर हमें प्राप्त होता है

,

जहां φ वेक्टर के बीच का कोण है स्नातकऔर किरण λ.

उच्चतम मूल्य तक पहुँचता है

तो, किसी दिए गए टीआर में व्युत्पन्न का सबसे बड़ा मूल्य है, और दिशा ग्रेड यू टीआर से निकलने वाली किरण की दिशा से मेल खाता है, जिसके साथ फ़ंक्शन सबसे तेज़ी से बदलता है।

आइए हम फ़ंक्शन के ग्रेडिएंट की दिशा और अदिश क्षेत्र की समतल सतहों के बीच संबंध स्थापित करें।

प्रमेय. प्रत्येक बिंदु पर फ़ंक्शन u (x,y,z) का ग्रेडिएंट इस बिंदु से गुजरने वाले अदिश क्षेत्र की सामान्य से समतल सतह के साथ मेल खाता है।

सबूत। आइए एक मनमाना t चुनें। P 0 (x 0, y 0, z 0)।

सतही समीकरण

स्तर से गुजर रहा है

यानी यह u(x,y,z)= होगा,

यू 0 = यू (एक्स 0 , वाई 0 , जेड 0)

इस सतह पर अभिलम्ब का समीकरण होगा

यह उस दिशा का अनुसरण करता है जो सामान्य वेक्टर है, जिसमें प्रक्षेपण होते हैं , t. P 0, आदि में फ़ंक्शन u (x, y, z) का ग्रेडिएंट है।

इस प्रकार, प्रत्येक बिंदु पर ढाल इस बिंदु से गुजरने वाली समतल सतह के स्पर्शरेखा तल के लंबवत होती है, अर्थात। इस तल पर इसका प्रक्षेपण शून्य है।

इस तरह:किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली समतल सतह की स्पर्शरेखा वाली किसी भी दिशा में व्युत्पन्न शून्य के बराबर होता है।

ग्रेडिएंट फ़ंक्शन के मूल गुण:

2) स्नातक , कहां सी - कॉन्स्ट

4) स्नातक

किसी फ़ंक्शन के ग्रेडिएंट की परिभाषा का उपयोग करके सभी गुण सिद्ध किए जाते हैं।

उदाहरण।बिंदु M(1, 1, 1) में अदिश क्षेत्र में सबसे बड़े परिवर्तन की दिशा और इस परिवर्तन का परिमाण ज्ञात कीजिए।

1 0 ढाल को समतल सतह (या यदि मैदान समतल है तो समतल रेखा की ओर) की ओर सामान्य रूप से निर्देशित किया जाता है।

2 0 ग्रेडिएंट को फ़ील्ड फ़ंक्शन को बढ़ाने की दिशा में निर्देशित किया गया है।

3 0 ग्रेडिएंट मापांक क्षेत्र में किसी दिए गए बिंदु पर दिशा में सबसे बड़े व्युत्पन्न के बराबर है:

ये गुण ग्रेडिएंट की एक अपरिवर्तनीय विशेषता प्रदान करते हैं। वे कहते हैं कि वेक्टर gradU किसी दिए गए बिंदु पर अदिश क्षेत्र में सबसे बड़े परिवर्तन की दिशा और परिमाण को इंगित करता है।

टिप्पणी 2.1.यदि फ़ंक्शन U(x,y) दो चरों का एक फ़ंक्शन है, तो वेक्टर

ऑक्सी तल में स्थित है।

मान लीजिए U=U(x,y,z) और V=V(x,y,z) बिंदु M 0 (x,y,z) फ़ंक्शन पर भिन्न हो सकते हैं। तब निम्नलिखित समानताएँ कायम रहती हैं:

ए) ग्रेड()= ; बी) ग्रेड(यूवी)=वीग्रेडयू+उग्रेडवी;

सी) ग्रेड(यू वी)=ग्रेडयू ग्रेडवी; डी) डी) ग्रेड = , वी ;

e) gradU( = gradU, जहां, U=U() के संबंध में एक व्युत्पन्न है।

उदाहरण 2.1.फलन U=x 2 +y 2 +z 2 दिया गया है। बिंदु M(-2;3;4) पर फ़ंक्शन का ग्रेडिएंट निर्धारित करें।

समाधान।सूत्र (2.2) के अनुसार हमारे पास है

इस अदिश क्षेत्र की समतल सतहें गोले का परिवार हैं x 2 +y 2 +z 2, सदिश gradU=(-4;6;8) समतलों का सामान्य सदिश है।

उदाहरण 2.2.अदिश क्षेत्र का ढाल ज्ञात करें U=x-2y+3z.

समाधान।सूत्र (2.2) के अनुसार हमारे पास है

किसी दिए गए अदिश क्षेत्र की समतल सतहें समतल होती हैं

x-2y+3z=C; वेक्टर gradU=(1;-2;3) इस परिवार के विमानों का सामान्य वेक्टर है।

उदाहरण 2.3.बिंदु M(2;2;4) पर सतह की सबसे बड़ी ढलान U=x y ज्ञात कीजिए।

समाधान।हमारे पास है:

उदाहरण 2.4.अदिश क्षेत्र की समतल सतह पर इकाई सामान्य वेक्टर खोजें U=x 2 +y 2 +z 2।

समाधान।किसी दिए गए अदिश क्षेत्र-गोले की समतल सतहें x 2 +y 2 +z 2 =C (C>0)।

इसलिए, ढाल को समतल सतह की ओर सामान्य रूप से निर्देशित किया जाता है

बिंदु M(x,y,z) पर समतल सतह पर सामान्य वेक्टर को परिभाषित करता है। एक इकाई सामान्य वेक्टर के लिए हम अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं

उदाहरण 2.5.क्षेत्र ढाल U= ज्ञात करें, जहां और स्थिर सदिश हैं, r बिंदु की त्रिज्या सदिश है।

समाधान।होने देना

तब: । सारणिक के विभेदन के नियम से हमें प्राप्त होता है

इस तरह,

उदाहरण 2.6.दूरी की ढाल ज्ञात करें, जहां P(x,y,z) अध्ययन किया जा रहा क्षेत्र बिंदु है, P 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) कुछ निश्चित बिंदु है।

समाधान।हमारे पास - इकाई दिशा वेक्टर है।

उदाहरण 2.7.बिंदु M 0 (1,1) पर फ़ंक्शन के ग्रेडिएंट के बीच का कोण ज्ञात करें।

समाधान।हम इन कार्यों के ग्रेडिएंट्स को बिंदु M 0 (1,1) पर पाते हैं, जो हमारे पास है

; बिंदु M 0 पर gradU और gradV के बीच का कोण समानता से निर्धारित होता है

अत: =0.

उदाहरण 2.8.दिशात्मक व्युत्पन्न खोजें, त्रिज्या वेक्टर के बराबर है

समाधान।इस फ़ंक्शन का ग्रेडिएंट ढूंढें:

(2.5) को (2.4) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है

उदाहरण 2.9.बिंदु M 0 (1;1;1) पर अदिश क्षेत्र U=xy+yz+xz में सबसे बड़े परिवर्तन की दिशा और इस बिंदु पर इस सबसे बड़े परिवर्तन का परिमाण ज्ञात करें।

समाधान।क्षेत्र में सबसे बड़े परिवर्तन की दिशा वेक्टर ग्रेड यू(एम) द्वारा इंगित की जाती है। हम इसे पाते हैं:

और उसका अर्थ यह निकलता है... यह वेक्टर बिंदु M 0 (1;1;1) पर इस क्षेत्र में सबसे बड़ी वृद्धि की दिशा निर्धारित करता है। इस बिंदु पर सबसे बड़े क्षेत्र परिवर्तन का परिमाण बराबर है

उदाहरण 3.1.उस सदिश क्षेत्र की सदिश रेखाएँ ज्ञात कीजिए जहाँ एक स्थिर सदिश है।

समाधान।हमारे पास ऐसा है

पहले भिन्न के अंश और हर को x से गुणा करें, दूसरे को y से, तीसरे को z से गुणा करें और पद दर पद जोड़ें। अनुपात की संपत्ति का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं

अत: xdx+ydy+zdz=0, जिसका अर्थ है

x 2 +y 2 +z 2 =ए 1, ए 1 -स्थिरांक>0. अब पहले भिन्न (3.3) के अंश और हर को c 1 से गुणा करने पर, दूसरे को c 2 से, तीसरे को c 3 से गुणा करने पर और प्रत्येक पद को जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है

जहाँ से 1 dx+c 2 dy+c 3 dz=0

और, इसलिए, 1 x+c 2 y+c 3 z=A 2 के साथ। ए 2 -कॉन्स्ट।

सदिश रेखाओं के आवश्यक समीकरण

इन समीकरणों से पता चलता है कि वेक्टर रेखाएं वेक्टर के लंबवत विमानों के साथ मूल पर एक सामान्य केंद्र वाले क्षेत्रों के प्रतिच्छेदन से प्राप्त होती हैं। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि सदिश रेखाएं वे वृत्त हैं जिनके केंद्र मूल बिंदु से सदिश c की दिशा में गुजरने वाली सीधी रेखा पर होते हैं। वृत्तों के तल निर्दिष्ट रेखा के लंबवत हैं।

उदाहरण 3.2.बिंदु (1,0,0) से गुजरने वाली सदिश क्षेत्र रेखा ज्ञात कीजिए।

समाधान।सदिश रेखाओं के विभेदक समीकरण

इसलिए हमारे पास है. पहला समीकरण हल करना. या यदि हम पैरामीटर t का परिचय देते हैं, तो हमारे पास इस मामले में, समीकरण या dz=bdt का रूप लेता है, जहां से z=bt+c 2 होता है।

संक्षिप्त सिद्धांत

ग्रेडिएंट एक वेक्टर है जिसकी दिशा फ़ंक्शन f(x) में सबसे तेज़ वृद्धि की दिशा को इंगित करती है। इस वेक्टर मात्रा का पता लगाना फ़ंक्शन के आंशिक व्युत्पन्न को निर्धारित करने से जुड़ा है। दिशात्मक व्युत्पन्न एक अदिश राशि है और कुछ वेक्टर द्वारा निर्दिष्ट दिशा के साथ चलते समय किसी फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर को दर्शाता है।

समस्या समाधान का उदाहरण

कार्य

एक फ़ंक्शन, एक बिंदु और एक वेक्टर दिया गया है। खोजो:

समस्या का समाधान

किसी फ़ंक्शन का ग्रेडिएंट ढूँढना

1) बिंदु पर फ़ंक्शन का ग्रेडिएंट ज्ञात करें:

वांछित ढाल:

एक वेक्टर की दिशा के संबंध में व्युत्पन्न ढूँढना

2) वेक्टर की दिशा में व्युत्पन्न खोजें:

सदिश और अक्ष द्वारा बना कोण कहां है

बिंदु पर आवश्यक व्युत्पन्न:

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स्कूली गणित पाठ्यक्रम से हम जानते हैं कि एक समतल पर एक सदिश एक निर्देशित खंड होता है। इसके आरंभ और अंत में दो निर्देशांक हैं। वेक्टर निर्देशांक की गणना अंतिम निर्देशांक से प्रारंभ निर्देशांक घटाकर की जाती है।

एक वेक्टर की अवधारणा को n-आयामी स्थान तक बढ़ाया जा सकता है (दो निर्देशांक के बजाय n निर्देशांक होंगे)।

ढाल gradzfunctionz=f(x 1, x 2, ...x n) एक बिंदु पर फ़ंक्शन के आंशिक व्युत्पन्न का वेक्टर है, यानी। निर्देशांक के साथ वेक्टर.

यह सिद्ध किया जा सकता है कि किसी फ़ंक्शन का ग्रेडिएंट किसी बिंदु पर फ़ंक्शन के स्तर की सबसे तेज़ वृद्धि की दिशा को दर्शाता है।

उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन z = 2x 1 + x 2 (चित्र 5.8 देखें) के लिए, किसी भी बिंदु पर ग्रेडिएंट में निर्देशांक (2; 1) होंगे। आप किसी भी बिंदु को वेक्टर की शुरुआत के रूप में लेते हुए, इसे विभिन्न तरीकों से एक विमान पर बना सकते हैं। उदाहरण के लिए, आप बिंदु (0; 0) को बिंदु (2; 1), या बिंदु (1; 0) को बिंदु (3; 1), या बिंदु (0; 3) को बिंदु (2; 4) से जोड़ सकते हैं। या इसी तरह...पी. (चित्र 5.8 देखें)। इस प्रकार निर्मित सभी सदिशों के निर्देशांक (2 – 0; 1 – 0) = = (3 – 1; 1 – 0) = (2 – 0; 4 – 3) = (2; 1) होंगे।

चित्र 5.8 से यह स्पष्ट रूप से देखा जाता है कि फ़ंक्शन का स्तर ग्रेडिएंट की दिशा में बढ़ता है, क्योंकि निर्मित स्तर रेखाएँ स्तर मान 4 > 3 > 2 के अनुरूप होती हैं।

चित्र 5.8 - फ़ंक्शन का ग्रेडिएंट z= 2x 1 + x 2

आइए एक अन्य उदाहरण पर विचार करें - फ़ंक्शन z = 1/(x 1 x 2)। इस फ़ंक्शन का ग्रेडिएंट अब अलग-अलग बिंदुओं पर हमेशा समान नहीं रहेगा, क्योंकि इसके निर्देशांक सूत्रों (-1/(x 1 2 x 2); -1/(x 1 x 2 2)) द्वारा निर्धारित किए जाते हैं।

चित्र 5.9 स्तर 2 और 10 के लिए फ़ंक्शन स्तर रेखाएँ z = 1/(x 1 x 2) दिखाता है (सीधी रेखा 1/(x 1 x 2) = 2 एक बिंदीदार रेखा द्वारा इंगित की जाती है, और सीधी रेखा 1/( x 1 x 2) = 10 ठोस रेखा है)।

चित्र 5.9 - विभिन्न बिंदुओं पर फ़ंक्शन z= 1/(x 1 x 2) के ग्रेडिएंट

उदाहरण के लिए, बिंदु (0.5; 1) लें और इस बिंदु पर ढाल की गणना करें: (-1/(0.5 2 *1); -1/(0.5*1 2)) = (-4; - 2)। ध्यान दें कि बिंदु (0.5; 1) स्तर रेखा 1/(x 1 x 2) = 2 पर स्थित है, क्योंकि z=f(0.5; 1) = 1/(0.5*1) = 2। वेक्टर खींचने के लिए ( -4; -2) चित्र 5.9 में, बिंदु (0.5; 1) को बिंदु (-3.5; -1) से जोड़ें, क्योंकि (-3.5 – 0.5; -1 - 1) = (-4; -2)।

आइए समान स्तर रेखा पर एक और बिंदु लें, उदाहरण के लिए, बिंदु (1; 0.5) (z=f(1; 0.5) = 1/(0.5*1) = 2)। आइए इस बिंदु पर ग्रेडिएंट की गणना करें (-1/(1 2 *0.5); -1/(1*0.5 2)) = (-2; -4)। चित्र 5.9 में इसे दर्शाने के लिए, हम बिंदु (1; 0.5) को बिंदु (-1; -3.5) से जोड़ते हैं, क्योंकि (-1 - 1; -3.5 - 0.5) = (-2; - 4)।

आइए समान स्तर रेखा पर एक और बिंदु लें, लेकिन केवल अब एक गैर-सकारात्मक समन्वय तिमाही में। उदाहरण के लिए, बिंदु (-0.5; -1) (z=f(-0.5; -1) = 1/((-1)*(-0.5)) = 2)। इस बिंदु पर ग्रेडिएंट (-1/((-0.5) 2 *(-1)); -1/((-0.5)*(-1) 2)) = (4; 2) के बराबर होगा। आइए इसे बिंदु (-0.5; -1) को बिंदु (3.5; 1) से जोड़कर चित्र 5.9 में चित्रित करें, क्योंकि (3.5 - (-0.5); 1 - (-1)) = (4 ; 2)।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि विचार किए गए सभी तीन मामलों में, ग्रेडिएंट फ़ंक्शन स्तर की वृद्धि की दिशा दिखाता है (स्तर रेखा 1/(x 1 x 2) = 10 > 2 की ओर)।

यह सिद्ध किया जा सकता है कि ढाल हमेशा किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली स्तर रेखा (स्तर की सतह) के लंबवत होती है।

अनेक चरों वाले किसी फलन की एक्स्ट्रेमा

आइए अवधारणा को परिभाषित करें चरमकई चर वाले एक फ़ंक्शन के लिए.

कई चर f(X) का एक फ़ंक्शन बिंदु X (0) पर है अधिकतम न्यूनतम),यदि इस बिंदु का कोई पड़ोस ऐसा है कि इस पड़ोस से सभी बिंदु X के लिए असमानताएँ f(X)f(X (0)) () संतुष्ट हैं।

यदि इन असमानताओं को सख्ती से संतुष्ट किया जाता है, तो चरम कहा जाता है मज़बूत, और यदि नहीं, तो कमज़ोर.

ध्यान दें कि इस तरह से परिभाषित चरम सीमा है स्थानीयचरित्र, चूँकि ये असमानताएँ चरम बिंदु के एक निश्चित पड़ोस के लिए ही संतुष्ट होती हैं।

एक बिंदु पर एक अवकलनीय फलन z=f(x 1,..., x n) के स्थानीय चरम के लिए एक आवश्यक शर्त इस बिंदु पर सभी प्रथम-क्रम आंशिक व्युत्पन्नों के शून्य की समानता है:
.

जिन बिंदुओं पर ये समानताएं कायम रहती हैं, उन्हें कहा जाता है अचल.

दूसरे तरीके से, एक चरम के लिए आवश्यक शर्त निम्नानुसार तैयार की जा सकती है: चरम बिंदु पर, ढाल शून्य है। एक अधिक सामान्य कथन भी सिद्ध किया जा सकता है: चरम बिंदु पर, सभी दिशाओं में फ़ंक्शन के व्युत्पन्न गायब हो जाते हैं।

यह निर्धारित करने के लिए कि स्थानीय चरम सीमा के अस्तित्व के लिए पर्याप्त शर्तें पूरी होती हैं या नहीं, स्थिर बिंदुओं पर अतिरिक्त शोध किया जाना चाहिए। ऐसा करने के लिए, दूसरे क्रम के अंतर का चिह्न निर्धारित करें। यदि किसी के लिए, एक साथ शून्य के बराबर नहीं, यह हमेशा नकारात्मक (सकारात्मक) होता है, तो फ़ंक्शन में अधिकतम (न्यूनतम) होता है। यदि यह न केवल शून्य वेतन वृद्धि के साथ शून्य तक जा सकता है, तो चरम सीमा का प्रश्न खुला रहता है। यदि यह सकारात्मक और नकारात्मक दोनों मान ले सकता है, तो स्थिर बिंदु पर कोई चरम सीमा नहीं होती है।

सामान्य स्थिति में, अंतर का चिह्न निर्धारित करना एक जटिल समस्या है, जिस पर हम यहां विचार नहीं करेंगे। दो चरों वाले एक फलन के लिए यह सिद्ध किया जा सकता है कि यदि एक स्थिर बिंदु पर
, तो चरम मौजूद है। इस मामले में, दूसरे अंतर का चिह्न चिह्न के साथ मेल खाता है
, अर्थात। अगर
, तो यह अधिकतम है, और यदि
, तो यह न्यूनतम है। अगर
, तो इस बिंदु पर कोई चरम सीमा नहीं है, और यदि
, तो चरम सीमा का प्रश्न खुला रहता है।

उदाहरण 1. फलन का चरम ज्ञात कीजिए
.

आइए लघुगणकीय विभेदन विधि का उपयोग करके आंशिक व्युत्पन्न खोजें।

एलएन जेड = एलएन 2 + एलएन (एक्स + वाई) + एलएन (1 + एक्सवाई) - एलएन (1 + एक्स 2) - एलएन (1 + वाई 2)

वैसे ही
.

आइए समीकरणों की प्रणाली से स्थिर बिंदु खोजें:

इस प्रकार, चार स्थिर बिंदु पाए गए हैं (1; 1), (1; -1), (-1; 1) और (-1; -1)।

आइए दूसरे क्रम के आंशिक व्युत्पन्न खोजें:

एलएन (जेड एक्स `) = एलएन 2 + एलएन (1 - एक्स 2) -2एलएन (1 + एक्स 2)

वैसे ही
;
.

क्योंकि
, अभिव्यक्ति चिन्ह
पर ही निर्भर करता है
. ध्यान दें कि इन दोनों डेरिवेटिव में हर हमेशा सकारात्मक होता है, इसलिए आप केवल अंश के चिह्न पर विचार कर सकते हैं, या अभिव्यक्ति x(x 2 – 3) और y(y 2 – 3) के चिह्न पर भी विचार कर सकते हैं। आइए इसे प्रत्येक महत्वपूर्ण बिंदु पर परिभाषित करें और जांचें कि चरम सीमा के लिए पर्याप्त स्थिति संतुष्ट है।

बिंदु (1; 1) के लिए हमें 1*(1 2 – 3) = -2 मिलता है< 0. Т.к. произведение двух отрицательных чисел
> 0, और
< 0, в точке (1; 1) можно найти максимум. Он равен
= 2*(1 + 1)*(1 +1*1)/((1 +1 2)*(1 +1 2)) = = 8/4 = 2.

बिंदु (1; -1) के लिए हमें 1*(1 2 – 3) = -2 मिलता है< 0 и (-1)*((-1) 2 – 3) = 2 >0. क्योंकि इन संख्याओं का गुणनफल
< 0, в этой точке экстремума нет. Аналогично можно показать, что нет экстремума в точке (-1; 1).

बिंदु (-1; -1) के लिए हमें (-1)*((-1) 2 – 3) = 2 > 0 मिलता है। दो धनात्मक संख्याओं का गुणनफल
> 0, और
> 0, बिंदु (-1; -1) पर न्यूनतम पाया जा सकता है। यह 2*((-1) + (-1))*(1 +(-1)*(-1))/((1 +(-1) 2)*(1 +(-1) के बराबर है 2) ) = -8/4 = = -2.

खोजो वैश्विकअधिकतम या न्यूनतम (किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा या सबसे छोटा मान) स्थानीय चरम की तुलना में कुछ अधिक जटिल है, क्योंकि ये मान न केवल स्थिर बिंदुओं पर, बल्कि परिभाषा डोमेन की सीमा पर भी प्राप्त किए जा सकते हैं। इस क्षेत्र की सीमा पर किसी फ़ंक्शन के व्यवहार का अध्ययन करना हमेशा आसान नहीं होता है।