वृत्ताकार घूर्णन सूत्र. वृत्ताकार गति

1. एक वृत्त में एकसमान गति

2. घूर्णी गति की कोणीय गति।

3. परिभ्रमण काल.

4. घूर्णन गति.

5. रैखिक गति और कोणीय गति के बीच संबंध.

6.केन्द्रीय त्वरण।

7. एक वृत्त में समान रूप से वैकल्पिक गति।

8. एकसमान वृत्तीय गति में कोणीय त्वरण।

9.स्पर्शरेखा त्वरण.

10. वृत्त में एकसमान त्वरित गति का नियम।

11. एक वृत्त में समान रूप से त्वरित गति में औसत कोणीय वेग।

12. एक वृत्त में समान रूप से त्वरित गति में कोणीय वेग, कोणीय त्वरण और घूर्णन कोण के बीच संबंध स्थापित करने वाले सूत्र।

1.एक वृत्त के चारों ओर एकसमान गति- वह गति जिसमें एक भौतिक बिंदु समान समय अंतराल में एक वृत्ताकार चाप के समान खंडों से गुजरता है, अर्थात। बिंदु एक वृत्त में स्थिर निरपेक्ष गति से गति करता है। इस मामले में, गति बिंदु द्वारा तय किए गए वृत्त के चाप और गति के समय के अनुपात के बराबर है, अर्थात।

और इसे एक वृत्त में गति की रैखिक गति कहा जाता है।

वक्ररेखीय गति की तरह, वेग वेक्टर को गति की दिशा में वृत्त की स्पर्शरेखीय दिशा में निर्देशित किया जाता है (चित्र 25)।

2. एकसमान वृत्ताकार गति में कोणीय वेग- त्रिज्या घूर्णन कोण का घूर्णन समय से अनुपात:

एकसमान वृत्तीय गति में कोणीय वेग स्थिर रहता है। एसआई प्रणाली में, कोणीय वेग को (रेड/एस) में मापा जाता है। एक रेडियन - एक रेड त्रिज्या के बराबर लंबाई वाले वृत्त के चाप को अंतरित करने वाला केंद्रीय कोण है। एक पूर्ण कोण में रेडियन होते हैं, अर्थात। प्रति क्रांति त्रिज्या रेडियन के कोण से घूमती है।

3. परिभ्रमण काल- समय अंतराल टी जिसके दौरान एक भौतिक बिंदु एक पूर्ण क्रांति करता है। एसआई प्रणाली में, अवधि को सेकंड में मापा जाता है।

4. घूर्णन आवृत्ति- एक सेकंड में किए गए चक्करों की संख्या। SI प्रणाली में, आवृत्ति हर्ट्ज़ (1Hz = 1) में मापी जाती है। एक हर्ट्ज़ वह आवृत्ति है जिस पर एक क्रांति एक सेकंड में पूरी होती है। इसकी कल्पना करना आसान है

यदि समय t के दौरान एक बिंदु एक वृत्त के चारों ओर n चक्कर लगाता है।

घूर्णन की अवधि और आवृत्ति को जानकर, कोणीय वेग की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

5 रैखिक गति और कोणीय गति के बीच संबंध. एक वृत्त के चाप की लंबाई केंद्रीय कोण के बराबर होती है, जिसे रेडियन में व्यक्त किया जाता है, जो चाप को अंतरित करने वाले वृत्त की त्रिज्या है। अब हम रैखिक गति को फॉर्म में लिखते हैं

सूत्रों का उपयोग करना अक्सर सुविधाजनक होता है: या कोणीय वेग को अक्सर चक्रीय आवृत्ति कहा जाता है, और आवृत्ति को रैखिक आवृत्ति कहा जाता है।

6. केन्द्राभिमुख त्वरण. एक वृत्त के चारों ओर एक समान गति में, वेग मॉड्यूल अपरिवर्तित रहता है, लेकिन इसकी दिशा लगातार बदलती रहती है (चित्र 26)। इसका मतलब यह है कि एक वृत्त में समान रूप से घूम रहा कोई पिंड त्वरण का अनुभव करता है, जो केंद्र की ओर निर्देशित होता है और इसे सेंट्रिपेटल त्वरण कहा जाता है।

मान लीजिए कि एक समयावधि में एक वृत्त के चाप के बराबर दूरी तय की जाती है। आइए वेक्टर को अपने समानांतर छोड़ते हुए घुमाएं, ताकि इसकी शुरुआत बिंदु बी पर वेक्टर की शुरुआत के साथ मेल खाए। गति में परिवर्तन का मापांक बराबर है, और सेंट्रिपेटल त्वरण का मापांक बराबर है

चित्र 26 में, त्रिभुज AOB और DVS समद्विबाहु हैं और शीर्ष O और B पर बने कोण बराबर हैं, जैसे परस्पर लंबवत भुजाओं AO और OB वाले कोण समान हैं। इसका मतलब है कि त्रिभुज AOB और DVS समरूप हैं। इसलिए, यदि, अर्थात्, समय अंतराल मनमाने ढंग से छोटे मान लेता है, तो चाप को लगभग जीवा एबी के बराबर माना जा सकता है, अर्थात। . इसलिए, हम लिख सकते हैं कि वीडी =, ओए = आर को ध्यान में रखते हुए हम अंतिम समानता के दोनों पक्षों को गुणा करते हैं, हम आगे एक सर्कल में समान गति में सेंट्रिपेटल त्वरण के मापांक के लिए अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं:। यह ध्यान में रखते हुए कि हमें दो अक्सर उपयोग किए जाने वाले सूत्र मिलते हैं:

इसलिए, एक वृत्त के चारों ओर एकसमान गति में, अभिकेन्द्रीय त्वरण परिमाण में स्थिर होता है।

यह समझना आसान है कि सीमा में , कोण . इसका मतलब यह है कि ICE त्रिकोण के DS के आधार पर कोण मान की ओर प्रवृत्त होते हैं, और गति परिवर्तन वेक्टर गति वेक्टर के लंबवत हो जाता है, अर्थात। वृत्त के केंद्र की ओर रेडियल रूप से निर्देशित।

7. समान रूप से बारी-बारी से गोलाकार गति- वृत्ताकार गति जिसमें कोणीय वेग समान समय अंतराल पर समान मात्रा में बदलता है।

8. एकसमान वृत्तीय गति में कोणीय त्वरण- कोणीय वेग में परिवर्तन का उस समय अंतराल से अनुपात जिसके दौरान यह परिवर्तन हुआ, अर्थात।

जहां कोणीय वेग का प्रारंभिक मूल्य, एसआई प्रणाली में कोणीय वेग, कोणीय त्वरण का अंतिम मूल्य मापा जाता है। अंतिम समानता से हमें कोणीय वेग की गणना के लिए सूत्र प्राप्त होते हैं

और अगर ।

इन समानताओं के दोनों पक्षों को गुणा करना और इसे ध्यान में रखना, स्पर्शरेखीय त्वरण है, यानी। वृत्त के स्पर्शरेखीय रूप से निर्देशित त्वरण से, हमें रैखिक गति की गणना के लिए सूत्र प्राप्त होते हैं:

और अगर ।

9. स्पर्शरेखीय त्वरणसंख्यात्मक रूप से प्रति इकाई समय में गति में परिवर्तन के बराबर और वृत्त की स्पर्शरेखा के अनुदिश निर्देशित। यदि >0, >0, तो गति समान रूप से त्वरित होती है। अगर<0 и <0 – движение.

10. वृत्त में समान रूप से त्वरित गति का नियम. समान रूप से त्वरित गति से समय में एक वृत्त के चारों ओर यात्रा किए गए पथ की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

प्रतिस्थापित करने पर, और घटाने पर, हम एक वृत्त में समान रूप से त्वरित गति का नियम प्राप्त करते हैं:

या अगर।

यदि गति समान रूप से धीमी है, अर्थात<0, то

11.समान रूप से त्वरित वृत्तीय गति में कुल त्वरण. एक वृत्त में समान रूप से त्वरित गति में, समय के साथ अभिकेन्द्रीय त्वरण बढ़ता है, क्योंकि स्पर्शरेखीय त्वरण के कारण रैखिक गति बढ़ जाती है। अक्सर, अभिकेंद्रीय त्वरण को सामान्य कहा जाता है और इसे इस रूप में दर्शाया जाता है। चूँकि किसी दिए गए क्षण में कुल त्वरण पाइथागोरस प्रमेय (चित्र 27) द्वारा निर्धारित किया जाता है।

12. एक वृत्त में समान रूप से त्वरित गति में औसत कोणीय वेग. एक वृत्त में समान रूप से त्वरित गति में औसत रैखिक गति के बराबर होती है। यहां प्रतिस्थापित करने पर और तथा घटाने पर हमें प्राप्त होता है

तो अगर।

12. एक वृत्त में समान रूप से त्वरित गति में कोणीय वेग, कोणीय त्वरण और घूर्णन कोण के बीच संबंध स्थापित करने वाले सूत्र।

मात्राओं को सूत्र में प्रतिस्थापित करना

और घटाने पर हमें प्राप्त होता है

व्याख्यान-4. गतिशीलता.

1. गतिशीलता

2. निकायों की परस्पर क्रिया।

3. जड़ता. जड़ता का सिद्धांत.

4. न्यूटन का प्रथम नियम.

5. निःशुल्क सामग्री बिंदु.

6. जड़त्वीय संदर्भ प्रणाली।

7. गैर-जड़त्वीय संदर्भ प्रणाली।

8. गैलीलियो का सापेक्षता का सिद्धांत.

9. गैलीलियन परिवर्तन।

11. बलों का जोड़.

13. पदार्थों का घनत्व.

14. द्रव्यमान का केंद्र.

15. न्यूटन का दूसरा नियम.

16. बल की इकाई.

17. न्यूटन का तीसरा नियम

1. गतिकीयांत्रिकी की एक शाखा है जो इस गति में परिवर्तन का कारण बनने वाली ताकतों के आधार पर यांत्रिक गति का अध्ययन करती है।

2.निकायों की परस्पर क्रिया. पिंड एक विशेष प्रकार के पदार्थ जिसे भौतिक क्षेत्र कहा जाता है, के माध्यम से सीधे संपर्क में और दूरी पर दोनों तरह से बातचीत कर सकते हैं।

उदाहरण के लिए, सभी पिंड एक-दूसरे के प्रति आकर्षित होते हैं और यह आकर्षण गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के माध्यम से होता है, और आकर्षण की शक्तियों को गुरुत्वाकर्षण कहा जाता है।

विद्युत आवेश वाले पिंड विद्युत क्षेत्र के माध्यम से परस्पर क्रिया करते हैं। विद्युत धाराएँ एक चुंबकीय क्षेत्र के माध्यम से परस्पर क्रिया करती हैं। इन बलों को विद्युत चुम्बकीय कहा जाता है।

प्राथमिक कण परमाणु क्षेत्रों के माध्यम से परस्पर क्रिया करते हैं और इन बलों को परमाणु कहा जाता है।

3.जड़ता. चौथी शताब्दी में. ईसा पूर्व इ। यूनानी दार्शनिक अरस्तू ने तर्क दिया कि किसी पिंड की गति का कारण दूसरे पिंड या पिंडों से कार्य करने वाला बल है। उसी समय, अरस्तू की गति के अनुसार, एक स्थिर बल शरीर को एक स्थिर गति प्रदान करता है और, बल की कार्रवाई की समाप्ति के साथ, गति समाप्त हो जाती है।

16वीं सदी में इतालवी भौतिक विज्ञानी गैलीलियो गैलीली ने झुके हुए तल पर लुढ़कने वाले पिंडों और गिरते हुए पिंडों के साथ प्रयोग करते हुए दिखाया कि एक निरंतर बल (इस मामले में, एक पिंड का वजन) शरीर को त्वरण प्रदान करता है।

तो, प्रयोगों के आधार पर, गैलीलियो ने दिखाया कि बल ही पिंडों के त्वरण का कारण है। आइये गैलीलियो का तर्क प्रस्तुत करते हैं। एक बहुत चिकनी गेंद को एक चिकने क्षैतिज तल पर लुढ़कने दीजिए। यदि गेंद के साथ कोई हस्तक्षेप नहीं करता है, तो यह इच्छानुसार लंबे समय तक लुढ़क सकती है। यदि गेंद के रास्ते पर रेत की पतली परत डाल दी जाए तो गेंद जल्दी ही रुक जाएगी, क्योंकि यह रेत के घर्षण बल से प्रभावित था।

तो गैलीलियो जड़ता के सिद्धांत के सूत्रीकरण के लिए आए, जिसके अनुसार एक भौतिक शरीर आराम या एकसमान रैखिक गति की स्थिति बनाए रखता है यदि उस पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं करता है। पदार्थ के इस गुण को अक्सर जड़त्व कहा जाता है, और बाहरी प्रभावों के बिना किसी पिंड की गति को जड़त्व द्वारा गति कहा जाता है।

4. न्यूटन का पहला नियम. 1687 में, गैलीलियो के जड़त्व के सिद्धांत के आधार पर, न्यूटन ने गतिशीलता का पहला नियम तैयार किया - न्यूटन का पहला नियम:

एक भौतिक बिंदु (पिंड) आराम या एकसमान रैखिक गति की स्थिति में होता है यदि अन्य पिंड उस पर कार्य नहीं करते हैं, या अन्य पिंडों से कार्य करने वाली शक्तियां संतुलित होती हैं, अर्थात। मुआवजा दिया।

5.निःशुल्क सामग्री बिंदु- एक भौतिक बिंदु जो अन्य निकायों से प्रभावित नहीं होता है। कभी-कभी वे कहते हैं - एक पृथक भौतिक बिंदु।

6. जड़त्वीय संदर्भ प्रणाली (आईआरएस)- एक संदर्भ प्रणाली जिसके सापेक्ष एक अलग सामग्री बिंदु सीधा और समान रूप से चलता है, या आराम पर है।

कोई भी संदर्भ प्रणाली जो आईएसओ के सापेक्ष समान रूप से और सीधी रेखा में चलती है, जड़त्वीय है,

आइए हम न्यूटन के पहले नियम का एक और सूत्रीकरण दें: ऐसी संदर्भ प्रणालियाँ हैं जिनके सापेक्ष एक मुक्त सामग्री बिंदु सीधा और समान रूप से चलता है, या आराम पर है। ऐसी संदर्भ प्रणालियों को जड़त्वीय कहा जाता है। न्यूटन के पहले नियम को अक्सर जड़त्व का नियम कहा जाता है।

न्यूटन के पहले नियम को निम्नलिखित सूत्रीकरण भी दिया जा सकता है: प्रत्येक भौतिक पिंड अपनी गति में परिवर्तन का विरोध करता है। पदार्थ के इस गुण को जड़त्व कहते हैं।

हम शहरी परिवहन में हर दिन इस कानून की अभिव्यक्तियों का सामना करते हैं। जब बस अचानक गति पकड़ लेती है तो हम सीट के पीछे दब जाते हैं। जब बस धीमी होती है तो हमारा शरीर बस की दिशा में फिसल जाता है।

7. गैर-जड़त्वीय संदर्भ प्रणाली -एक संदर्भ प्रणाली जो आईएसओ के सापेक्ष असमान रूप से चलती है।

एक पिंड जो आईएसओ के सापेक्ष आराम या एकसमान रैखिक गति की स्थिति में है। यह एक गैर-जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम के सापेक्ष असमान रूप से चलता है।

कोई भी घूर्णनशील संदर्भ प्रणाली एक गैर-जड़त्वीय संदर्भ प्रणाली है, क्योंकि इस प्रणाली में शरीर अभिकेन्द्रीय त्वरण का अनुभव करता है।

प्रकृति या प्रौद्योगिकी में ऐसा कोई निकाय नहीं है जो आईएसओ के रूप में काम कर सके। उदाहरण के लिए, पृथ्वी अपनी धुरी पर घूमती है और इसकी सतह पर कोई भी पिंड अभिकेन्द्रीय त्वरण का अनुभव करता है। हालाँकि, काफी कम समय के लिए, पृथ्वी की सतह से जुड़ी संदर्भ प्रणाली को, कुछ अनुमान के अनुसार, आईएसओ माना जा सकता है।

8.गैलीलियो का सापेक्षता का सिद्धांत.आईएसओ आप जितना चाहें उतना नमक हो सकता है। इसलिए, सवाल उठता है: एक ही यांत्रिक घटना अलग-अलग आईएसओ में कैसी दिखती है? क्या यांत्रिक घटनाओं का उपयोग करके, आईएसओ की गति का पता लगाना संभव है जिसमें उन्हें देखा जाता है।

इन प्रश्नों का उत्तर गैलीलियो द्वारा खोजे गए शास्त्रीय यांत्रिकी के सापेक्षता के सिद्धांत द्वारा दिया गया है।

शास्त्रीय यांत्रिकी के सापेक्षता के सिद्धांत का अर्थ कथन है: सभी यांत्रिक घटनाएँ संदर्भ के सभी जड़त्वीय ढाँचों में बिल्कुल उसी तरह आगे बढ़ती हैं।

इस सिद्धांत को इस प्रकार तैयार किया जा सकता है: शास्त्रीय यांत्रिकी के सभी नियम समान गणितीय सूत्रों द्वारा व्यक्त किए जाते हैं। दूसरे शब्दों में, कोई भी यांत्रिक प्रयोग हमें आईएसओ की गति का पता लगाने में मदद नहीं करेगा। इसका मतलब यह है कि आईएसओ मूवमेंट का पता लगाने की कोशिश करना व्यर्थ है।

ट्रेनों में यात्रा करते समय हमें सापेक्षता के सिद्धांत की अभिव्यक्ति का सामना करना पड़ा। जिस समय हमारी ट्रेन स्टेशन पर खड़ी होती है और बगल की पटरी पर खड़ी ट्रेन धीरे-धीरे चलने लगती है तो पहले क्षणों में हमें ऐसा लगता है कि हमारी ट्रेन चल रही है। लेकिन इसका उल्टा भी होता है, जब हमारी ट्रेन सुचारू रूप से गति पकड़ लेती है तो हमें ऐसा लगता है कि पड़ोसी ट्रेन चल पड़ी है।

उपरोक्त उदाहरण में, सापेक्षता का सिद्धांत छोटे समय के अंतराल पर स्वयं प्रकट होता है। जैसे-जैसे गति बढ़ती है, हमें झटके और कार के हिलने का एहसास होने लगता है, यानी हमारा संदर्भ तंत्र जड़त्वहीन हो जाता है।

इसलिए, ISO गतिविधि का पता लगाने का प्रयास करना व्यर्थ है। नतीजतन, यह बिल्कुल उदासीन है कि कौन सा आईएसओ स्थिर माना जाता है और कौन सा गतिशील है।

9. गैलीलियन परिवर्तन. दो आईएसओ को एक दूसरे के सापेक्ष गति से चलने दें। सापेक्षता के सिद्धांत के अनुसार, हम मान सकते हैं कि ISO K स्थिर है, और ISO अपेक्षाकृत गति से चलता है। सरलता के लिए, हम मानते हैं कि सिस्टम के संबंधित समन्वय अक्ष समानांतर हैं, और अक्ष और संपाती हैं। मान लीजिए कि सिस्टम शुरुआत के क्षण में मेल खाता है और आंदोलन अक्षों के साथ होता है और, यानी। (चित्र.28)

वे नियम जो किसी वृत्त में किसी पिंड की गति को निर्धारित करते हैं, स्थानांतरीय गति के नियमों के समान हैं। घूर्णी गति का वर्णन करने वाले समीकरणों को बाद में निम्नलिखित प्रतिस्थापन करके अनुवादात्मक गति के समीकरणों से प्राप्त किया जा सकता है:

अगर:
चलती एस-कोणीय गति (रोटेशन का कोण) ? ,
रफ़्तार यू- कोणीय वेग ? ,
त्वरण ए- कोणीय त्वरण ?

घूर्णन का कोण

घूर्णी गति के सभी समीकरणों में, कोणों को संक्षेप में रेडियन में निर्दिष्ट किया जाता है (खुश).

अगर
? - रेडियन में कोणीय विस्थापन,
एस- संलग्न चाप की लंबाई
घूर्णन कोण की भुजाओं के बीच,
आर- त्रिज्या,
फिर रेडियन की परिभाषा से

कोण इकाइयों के बीच संबंध

टिप्पणी:इकाई रेडियन (रेड) का नाम आमतौर पर केवल उन मामलों में सूत्रों में दर्शाया जाता है जहां इसे एक डिग्री के साथ भ्रमित किया जा सकता है। चूँकि एक रेडियन दो खंडों की लंबाई के अनुपात के बराबर है
(1rad = 1m/1m = 1), इसका कोई आयाम नहीं है।

सभी प्रकार की वृत्ताकार गति के लिए कोणीय वेग, कोणीय विस्थापन और समय के बीच संबंध कोणीय वेग ग्राफ (निर्भरता) पर स्पष्ट रूप से दिखाई देता है ? से टी). इसलिए, ग्राफ़ यह निर्धारित कर सकता है कि किसी निश्चित समय पर किसी पिंड का कोणीय वेग क्या है और यह अपनी गति की शुरुआत के बाद से किस कोण पर घूमा है (यह वक्र के नीचे के क्षेत्र की विशेषता है)।

इसके अलावा, इन मात्राओं के बीच संबंधों का प्रतिनिधित्व करने के लिए, कोणीय विस्थापन (निर्भरता) के ग्राफ का उपयोग करें ? से टी) और कोणीय त्वरण का ग्राफ (निर्भरता)। ? से टी).

रफ़्तार

सभी प्रकार के घूर्णन की एक विशेषता क्रांतियों की संख्या है एनया समकक्ष विशेषता - आवृत्ति एफ. दोनों मात्राएँ प्रति इकाई समय में क्रांतियों की संख्या को दर्शाती हैं।

आवृत्ति की एसआई इकाई (या क्रांतियों की संख्या)

इंजीनियरिंग में, क्रांतियों की संख्या आमतौर पर क्रांतियों प्रति मिनट (आरपीएम) = 1/मिनट में मापी जाती है।

इस प्रकार, क्रांतियों की संख्या का व्युत्क्रम एक क्रांति की अवधि है।

अगर
एन- क्रांतियों की संख्या,
एफ- आवृत्ति,
टी- एक क्रांति की अवधि, अवधि,
? - कोणीय गति,
एन- क्रांतियों की कुल संख्या,
टी- समय, घूर्णन की अवधि,
? - कोणीय आवृत्ति,
वह

अवधि

कोणीय गति

कोणीय गति 2 से क्रांतियों की कुल संख्या के उत्पाद के बराबर है?:

कोणीय वेग

एक क्रांति के सूत्र से यह इस प्रकार है:

टिप्पणी:
सूत्र सभी प्रकार की घूर्णी गति के लिए मान्य हैं - एकसमान गति और त्वरित गति दोनों के लिए। इनमें स्थिर मान, औसत मान, आरंभ और अंत मान और कोई भी तात्कालिक मान शामिल हो सकते हैं।
अपने नाम के विपरीत, क्रांतियों की संख्या एन- यह कोई संख्या नहीं, बल्कि एक भौतिक मात्रा है।
क्रांतियों की संख्या में अंतर करना आवश्यक है एनऔर पूरी गति एन.

एक वृत्त में किसी पिंड की एकसमान गति

कहा जाता है कि कोई पिंड एक वृत्त में समान रूप से घूमता है यदि उसका कोणीय वेग स्थिर है, अर्थात। पिंड समान समय अंतराल पर एक ही कोण से घूमता है।

? - कोणीय वेग (समय के साथ स्थिर)। टी)
? -कोणीय गति
टी- मोड़ का समय ?

चूँकि कोणीय वेग ग्राफ पर आयत का क्षेत्रफल कोणीय विस्थापन से मेल खाता है, हमारे पास है:

निरंतर कोणीय वेग- इस गति पर खर्च किए गए समय के लिए कोणीय गति (रोटेशन का कोण) का अनुपात है।

कोणीय वेग की SI इकाई:

प्रारंभिक कोणीय वेग के बिना एक वृत्त में समान रूप से त्वरित गति

शरीर आराम की स्थिति से आगे बढ़ना शुरू कर देता है, और इसका कोणीय वेग समान रूप से बढ़ जाता है।

? - समय के क्षण में शरीर का तात्कालिक कोणीय वेग टी
? - कोणीय त्वरण, स्थायीएक बार के लिए टी
? टी, (? रेडियन में)
टी- समय

चूँकि वेग ग्राफ पर कोणीय विस्थापन त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर है, हमारे पास है:

चूंकि पिंड का घूमना आराम की स्थिति से शुरू होता है, कोणीय वेग में परिवर्तन?? त्वरण के परिणामस्वरूप प्राप्त कोणीय वेग के बराबर? इसलिए, सूत्र निम्नलिखित रूप लेता है:

प्रारंभिक कोणीय वेग के साथ एक वृत्त में समान रूप से त्वरित गति

शरीर की प्रारंभिक गति के बराबर है ?0 में आपके जवाब का इंतज़ार कर रहा हूँ टी= 0, राशि के अनुसार समान रूप से परिवर्तन होता है ?? . (कोणीय त्वरण स्थिर है।)

?0 - प्रारंभिक कोणीय वेग
? - अंतिम कोणीय वेग
? - समय के साथ शरीर की कोणीय गति टीरेडियन में
टी- समय
? - कोणीय त्वरण समय के साथ स्थिर रहता है टी

चूँकि वेग ग्राफ पर कोणीय विस्थापन वेग वक्र के नीचे समलम्बाकार क्षेत्र से मेल खाता है, हमारे पास है:

चूँकि एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल इसे बनाने वाले त्रिभुज और आयत के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है, हम प्राप्त करते हैं:

हमें जो सूत्र मिलते हैं उन्हें मिलाने से

परिवर्तन के बाद हमें एक अभिव्यक्ति मिलती है जिसमें समय नहीं होता है:

एक वृत्त में किसी पिंड की असमान रूप से त्वरित गति

यदि कोणीय वेग में परिवर्तन समय के समानुपाती नहीं है, अर्थात यदि कोणीय त्वरण स्थिर नहीं रहता है, तो एक वृत्त में किसी पिंड की गति असमान रूप से त्वरित हो जाएगी। इस मामले में, कोणीय वेग और कोणीय त्वरण दोनों समय के कार्य हैं।

मात्राओं के बीच संबंध ? , ? और ? संबंधित ग्राफ़ में प्रस्तुत किया गया है।

तात्क्षणिक कोणीय वेग

तात्कालिक कोणीय वेग फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न है ? = ? (टी) समय तक।

टिप्पणी:
1) तात्कालिक कोणीय वेग की गणना करने के लिए ? , कोणीय विस्थापन की समय पर निर्भरता जानना आवश्यक है।
2) एक वृत्त में किसी पिंड की एक समान गति के लिए कोणीय विस्थापन का सूत्र और प्रारंभिक कोणीय वेग के बिना एक वृत्त में एक समान त्वरित गति के लिए कोणीय विस्थापन का सूत्र क्रमशः सूत्र (2) के विशेष मामले हैं ? = 0 और ? = स्थिरांक.

सूत्रों से यह इस प्रकार है:

अभिव्यक्ति के दोनों पक्षों को एकीकृत करने पर, हम पाते हैं

कोणीय विस्थापन कोणीय वेग का समय अभिन्न अंग है।

टिप्पणी:
कोणीय विस्थापन की गणना करने के लिए? कोणीय वेग की समय पर निर्भरता जानना आवश्यक है।

औसत कोणीय वेग

एक निश्चित समय अंतराल के लिए औसत कोणीय वेग

क्रांतियों की औसत संख्या सूत्र के अनुसार निर्धारित की जाती है:

शरीर की घूर्णी गति, सूत्र

इसके अलावा, ये मात्राएँ एक निश्चित तरीके से कोणीय विस्थापन से संबंधित हैं ? , कोणीय वेग ? और कोणीय त्वरण ? .

नोट: सूत्र किसी वृत्त में पिंड की गति के सभी मामलों में स्थिर, तात्कालिक और औसत मात्राओं के लिए मान्य हैं।

किसी पिंड की घूर्णी गति को दर्शाने वाली वेक्टर मात्राएँ

परिभाषा: यदि कोई पिंड एक साथ कई घूर्णी आंदोलनों में भाग लेता है, तो परिणामी कोणीय वेग वेक्टर (ज्यामितीय) जोड़ के नियम द्वारा निर्धारित किया जाता है:

परिणामी कोणीय वेग का परिमाण सूत्र (आंदोलनों का जोड़) के अनुरूप निर्धारित किया जाता है:

या, यदि घूर्णन की धुरी एक दूसरे के लंबवत हैं

नोट: परिणामी कोणीय त्वरण समान तरीके से निर्धारित किया जाता है। ग्राफ़िक रूप से, परिणामी को वेग या त्वरण के समांतर चतुर्भुज के विकर्ण के रूप में पाया जा सकता है।

विभिन्न प्रकार की वक्ररेखीय गति में से, विशेष रुचि है एक वृत्त में किसी पिंड की एकसमान गति. यह वक्रीय गति का सबसे सरल प्रकार है। साथ ही, किसी पिंड की उसके प्रक्षेपवक्र के पर्याप्त छोटे हिस्से में किसी भी जटिल वक्रीय गति को लगभग एक वृत्त में एकसमान गति माना जा सकता है।

ऐसी गति घूमने वाले पहियों, टरबाइन रोटार, कक्षाओं में घूमने वाले कृत्रिम उपग्रहों आदि के बिंदुओं द्वारा की जाती है। एक वृत्त में समान गति के साथ, गति का संख्यात्मक मान स्थिर रहता है। हालाँकि, ऐसी गति के दौरान गति की दिशा लगातार बदलती रहती है।

वक्रीय प्रक्षेपवक्र पर किसी भी बिंदु पर किसी पिंड की गति की गति उस बिंदु पर प्रक्षेपवक्र के स्पर्शरेखीय रूप से निर्देशित होती है। आप डिस्क के आकार के शार्पनर के संचालन को देखकर इसे सत्यापित कर सकते हैं: एक घूमते हुए पत्थर के खिलाफ स्टील की छड़ के सिरे को दबाने पर, आप पत्थर से गर्म कणों को निकलते हुए देख सकते हैं। ये कण उसी गति से उड़ते हैं जो पत्थर छोड़ने के समय थी। चिंगारी की दिशा हमेशा उस बिंदु पर वृत्त की स्पर्श रेखा से मेल खाती है जहां छड़ी पत्थर को छूती है। फिसलती हुई कार के पहियों से निकलने वाले छींटे भी स्पर्शरेखीय रूप से वृत्त की ओर बढ़ते हैं।

इस प्रकार, वक्ररेखीय प्रक्षेपवक्र के विभिन्न बिंदुओं पर किसी पिंड के तात्कालिक वेग की दिशाएँ अलग-अलग होती हैं, जबकि वेग का परिमाण या तो हर जगह समान हो सकता है या बिंदु-दर-बिंदु भिन्न हो सकता है। लेकिन भले ही गति मॉड्यूल नहीं बदलता है, फिर भी इसे स्थिर नहीं माना जा सकता है। आख़िरकार, गति एक सदिश राशि है, और सदिश राशियों के लिए, मापांक और दिशा समान रूप से महत्वपूर्ण हैं। इसीलिए वक्ररेखीय गति सदैव त्वरित होती है, भले ही गति मॉड्यूल स्थिर हो।

वक्ररेखीय गति के दौरान, वेग मॉड्यूल और इसकी दिशा बदल सकती है। वक्ररेखीय गति जिसमें वेग मापांक स्थिर रहता है, कहलाती है एकसमान वक्ररेखीय गति. ऐसे आंदोलन के दौरान त्वरण केवल वेग वेक्टर की दिशा में बदलाव के साथ जुड़ा हुआ है।

त्वरण का परिमाण और दिशा दोनों घुमावदार प्रक्षेपवक्र के आकार पर निर्भर होना चाहिए। हालाँकि, इसके प्रत्येक अनगिनत रूप पर विचार करने की आवश्यकता नहीं है। प्रत्येक खंड को एक निश्चित त्रिज्या के साथ एक अलग वृत्त के रूप में कल्पना करने के बाद, वक्ररेखीय एकसमान गति के दौरान त्वरण खोजने की समस्या एक वृत्त में किसी पिंड की एकसमान गति के दौरान त्वरण खोजने तक कम हो जाएगी।

एकसमान वृत्ताकार गति की विशेषता क्रांति की अवधि और आवृत्ति होती है।

किसी पिंड को एक चक्कर लगाने में लगने वाले समय को कहा जाता है संचलन अवधि.

एक वृत्त में एक समान गति के साथ, परिक्रमण की अवधि तय की गई दूरी, यानी परिधि को गति की गति से विभाजित करके निर्धारित की जाती है:

आवर्त का व्युत्क्रम कहलाता है परिसंचरण की आवृत्ति, पत्र द्वारा दर्शाया गया है ν . प्रति इकाई समय क्रांतियों की संख्या ν बुलाया परिसंचरण की आवृत्ति:

गति की दिशा में निरंतर परिवर्तन के कारण, एक वृत्त में घूम रहे किसी पिंड में त्वरण होता है, जो उसकी दिशा में परिवर्तन की गति को दर्शाता है; इस मामले में गति का संख्यात्मक मान नहीं बदलता है।

जब कोई पिंड एक वृत्त के चारों ओर समान रूप से घूमता है, तो किसी भी बिंदु पर त्वरण हमेशा वृत्त की त्रिज्या के साथ उसके केंद्र तक गति की गति के लंबवत निर्देशित होता है और इसे कहा जाता है केन्द्राभिमुख त्वरण.

इसका मान ज्ञात करने के लिए, वेग वेक्टर में परिवर्तन और उस समय अंतराल के अनुपात पर विचार करें जिसके दौरान यह परिवर्तन हुआ। चूँकि कोण बहुत छोटा है, हमारे पास है।

गतिशीलता के बुनियादी नियम. न्यूटन के नियम - पहला, दूसरा, तीसरा। गैलीलियो का सापेक्षता का सिद्धांत. सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण का नियम. गुरुत्वाकर्षण। लोचदार बल. वज़न। घर्षण बल - तरल पदार्थ और गैसों में आराम, फिसलन, रोलिंग + घर्षण।

गतिकी। बुनियादी अवधारणाओं। एकसमान सीधी गति. समान रूप से त्वरित गति. एक वृत्त में एकसमान गति। संदर्भ प्रणाली। प्रक्षेपवक्र, विस्थापन, पथ, गति का समीकरण, गति, त्वरण, रैखिक और कोणीय गति के बीच संबंध।

सरल तंत्र. लीवर (पहली तरह का लीवर और दूसरी तरह का लीवर)। ब्लॉक (स्थिर ब्लॉक और चल ब्लॉक)। इच्छुक विमान। हाइड्रॉलिक प्रेस। यांत्रिकी का सुनहरा नियम

यांत्रिकी में संरक्षण कानून. यांत्रिक कार्य, शक्ति, ऊर्जा, संवेग संरक्षण का नियम, ऊर्जा संरक्षण का नियम, ठोसों का संतुलन

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इस पाठ में हम वक्ररेखीय गति, अर्थात् एक वृत्त में किसी पिंड की एकसमान गति, को देखेंगे। हम सीखेंगे कि जब कोई पिंड एक वृत्त में घूमता है तो रैखिक गति, अभिकेन्द्रीय त्वरण क्या होता है। हम उन मात्राओं का भी परिचय देंगे जो घूर्णी गति (रोटेशन अवधि, घूर्णन आवृत्ति, कोणीय वेग) की विशेषता बताते हैं, और इन मात्राओं को एक दूसरे से जोड़ते हैं।

एकसमान वृत्तीय गति से हमारा तात्पर्य यह है कि वस्तु किसी भी समान समयावधि में एक ही कोण से घूमती है (चित्र 6 देखें)।

चावल। 6. एक वृत्त में एकसमान गति

अर्थात्, तात्कालिक गति का मॉड्यूल नहीं बदलता है:

इस गति को कहा जाता है रेखीय.

हालाँकि वेग का परिमाण नहीं बदलता है, वेग की दिशा लगातार बदलती रहती है। आइए बिंदुओं पर वेग सदिशों पर विचार करें एऔर बी(चित्र 7 देखें)। वे अलग-अलग दिशाओं में निर्देशित हैं, इसलिए वे समान नहीं हैं। यदि हम बिंदु पर गति से घटा दें बीबिंदु पर गति ए, हमें वेक्टर मिलता है।

चावल। 7. वेग सदिश

गति में परिवर्तन () और उस समय का अनुपात जिसके दौरान यह परिवर्तन हुआ () त्वरण है।

इसलिए, किसी भी वक्रीय गति को त्वरित किया जाता है.

यदि हम चित्र 7 में प्राप्त वेग त्रिभुज पर विचार करें, तो बिंदुओं की बहुत करीबी व्यवस्था के साथ एऔर बीएक दूसरे से, वेग सदिशों के बीच का कोण (α) शून्य के करीब होगा:

यह भी ज्ञात है कि यह त्रिभुज समद्विबाहु है, इसलिए वेग मॉड्यूल समान (समान गति) हैं:

इसलिए, इस त्रिभुज के आधार पर दोनों कोण अनिश्चित काल तक करीब हैं:

इसका मतलब यह है कि त्वरण, जो वेक्टर के अनुदिश निर्देशित है, वास्तव में स्पर्शरेखा के लंबवत है। यह ज्ञात है कि किसी वृत्त में स्पर्शरेखा के लंबवत रेखा एक त्रिज्या होती है त्वरण वृत्त के केंद्र की ओर त्रिज्या के अनुदिश निर्देशित होता है। इस त्वरण को अभिकेन्द्रीय त्वरण कहते हैं।

चित्र 8 पहले चर्चा किए गए वेग त्रिभुज और एक समद्विबाहु त्रिभुज (दो भुजाएँ वृत्त की त्रिज्याएँ हैं) को दर्शाता है। ये त्रिभुज समरूप हैं क्योंकि उनमें परस्पर लंबवत रेखाओं (त्रिज्या और वेक्टर स्पर्शरेखा के लंबवत हैं) द्वारा निर्मित समान कोण हैं।

चावल। 8. अभिकेन्द्रीय त्वरण के सूत्र की व्युत्पत्ति के लिए चित्रण

रेखा खंड अबचाल है(). हम एक वृत्त में एकसमान गति पर विचार कर रहे हैं, इसलिए:

आइए हम परिणामी अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करें अबत्रिभुज समरूपता सूत्र में:

"रैखिक गति", "त्वरण", "समन्वय" की अवधारणाएं घुमावदार प्रक्षेपवक्र के साथ गति का वर्णन करने के लिए पर्याप्त नहीं हैं। इसलिए, घूर्णी गति की विशेषता वाली मात्राओं का परिचय देना आवश्यक है।

1. घूर्णन अवधि (टी ) एक पूर्ण क्रांति का समय कहा जाता है। सेकंड में एसआई इकाइयों में मापा गया।

अवधियों के उदाहरण: पृथ्वी अपनी धुरी पर 24 घंटे () में और सूर्य के चारों ओर 1 वर्ष () में घूमती है।

अवधि की गणना का सूत्र:

कुल घूर्णन समय कहाँ है; - क्रांतियों की संख्या।

2. घूर्णन आवृत्ति (एन ) - एक पिंड द्वारा प्रति इकाई समय में किए गए चक्करों की संख्या। पारस्परिक सेकंड में एसआई इकाइयों में मापा जाता है।

आवृत्ति ज्ञात करने का सूत्र:

कुल घूर्णन समय कहाँ है; - क्रांतियों की संख्या

आवृत्ति और अवधि व्युत्क्रमानुपाती मात्राएँ हैं:

3. कोणीय वेग () उस कोण में परिवर्तन के अनुपात को कॉल करें जिसके माध्यम से शरीर घूम गया और उस समय के दौरान जिसके दौरान यह घूर्णन हुआ। सेकंड से विभाजित रेडियन में एसआई इकाइयों में मापा जाता है।

कोणीय वेग ज्ञात करने का सूत्र:

कोण में परिवर्तन कहां है; - वह समय जिसके दौरान कोण के माध्यम से मोड़ हुआ।