एक समतल द्वारा लम्ब वृत्तीय शंकु का खंड। एक समतल द्वारा शंकु का खंड

जब एक लंब वृत्तीय शंकु एक समतल के साथ प्रतिच्छेद करता है, तो निम्नलिखित दूसरे क्रम के वक्र बन सकते हैं: वृत्त, दीर्घवृत्त, अतिपरवलय और परवलय। इन वक्रों की उपस्थिति शंक्वाकार सतह की धुरी पर काटने वाले विमान के झुकाव के कोण पर निर्भर करती है।

नीचे हम एक समस्या पर विचार करेंगे जिसमें समतल α द्वारा शंकु ω के अनुभाग के प्रक्षेपण और प्राकृतिक आकार का निर्माण करना आवश्यक है। प्रारंभिक डेटा नीचे दिए गए चित्र में प्रस्तुत किया गया है।

अनुभाग के उच्चतम और निम्नतम बिंदुओं का निर्धारण। दृश्यता सीमा

प्रतिच्छेदन रेखा का निर्माण उसके विशिष्ट बिंदुओं को खोजने से शुरू होना चाहिए। वे अनुभाग की सीमाओं और पर्यवेक्षक के संबंध में इसकी दृश्यता निर्धारित करते हैं।

शंक्वाकार सतह की धुरी के माध्यम से हम P 2 के समानांतर एक सहायक विमान γ खींचते हैं। यह शंकु ω को दो जनरेटरों के साथ और समतल α को ललाट f γ के साथ काटता है। जनरेटर के साथ f γ के प्रतिच्छेदन के बिंदु 1 और 2 सीमा बिंदु हैं। वे अनुभाग को दृश्य और अदृश्य भागों में विभाजित करते हैं।

आइए प्रतिच्छेदन रेखा के उच्चतम और निम्नतम बिंदु निर्धारित करें। ऐसा करने के लिए, हम h 0 α के लंबवत शंकु अक्ष के माध्यम से एक अतिरिक्त काटने वाला विमान β पेश करते हैं। यह शंक्वाकार सतह को जनरेटर SL और SK के साथ और समतल α को सीधी रेखा MN के साथ काटता है। आवश्यक बिंदु 3 = SL ∩ MN और 4 = SK ∩ MN दीर्घवृत्त के प्रमुख अक्ष को परिभाषित करते हैं। इसका केंद्र बिंदु O पर है, जो खंड 3-4 को आधे में विभाजित करता है।

मध्यवर्ती बिंदुओं और दीर्घवृत्त प्रक्षेपणों को परिभाषित करना

अनुभाग अनुमानों को सबसे सटीक रूप से बनाने के लिए, हमें कई अतिरिक्त बिंदु मिलेंगे। दीर्घवृत्त के मामले में, इसके छोटे व्यास का मान निर्धारित करना उचित है। ऐसा करने के लिए, केंद्र O से होकर एक सहायक क्षैतिज विमान δ खींचें। यह शंक्वाकार सतह को व्यास AB वाले वृत्त के अनुदिश काटता है, और समतल α क्षैतिज रूप से h δ को काटता है। हम वृत्त और सीधी रेखा h δ के क्षैतिज प्रक्षेपण बनाते हैं। उनका प्रतिच्छेदन दीर्घवृत्त के छोटे व्यास के 5" और 6" बिंदुओं को परिभाषित करता है।

मध्यवर्ती बिंदु 7 और 8 का निर्माण करने के लिए, हम एक सहायक क्षैतिज विमान ε प्रस्तुत करते हैं। अनुमान 7" और 8" को 5" और 6" के समान परिभाषित किया गया है, जैसा चित्र में दिखाया गया है।

पाए गए बिंदुओं को एक चिकने वक्र से जोड़कर, हमने एक अण्डाकार खंड की रूपरेखा प्राप्त की। चित्र में इसे लाल रंग से दर्शाया गया है। जैसा कि ऊपर बताया गया है, समोच्च का ललाट प्रक्षेपण बिंदु 1 और 2 पर इसकी दृश्यता को बदलता है।

अनुभाग का प्राकृतिक आकार ज्ञात करने के लिए, हम समतल α को तब तक घुमाते हैं जब तक कि वह क्षैतिज तल के साथ संरेखित न हो जाए। हम घूर्णन अक्ष के रूप में ट्रेस h 0 α का उपयोग करेंगे। परिवर्तन प्रक्रिया में इसकी स्थिति अपरिवर्तित रहेगी।

निर्माण फ्रंटल वेक f 1 α की दिशा निर्धारित करने के साथ शुरू होता है। सीधी रेखा f 0 α पर हम एक मनमाना बिंदु E लेते हैं और उसका प्रक्षेपण E निर्धारित करते हैं। E से हम h 0 α पर एक लंब छोड़ते हैं। त्रिज्या X α E"" के एक वृत्त के साथ इस लम्ब का प्रतिच्छेदन बिंदु E" 1 की स्थिति निर्धारित करता है। X α और E" 1 के माध्यम से हम f 1 α खींचते हैं।

हम क्षैतिज रेखा h" 1 δ ∥ h 0 α का एक प्रक्षेपण बनाते हैं, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। बिंदु O" 1 और 5" 1, 6" 1 h" 1 δ के प्रतिच्छेदन पर स्थित हैं, जिसमें h पर लंबवत रेखाएं खींची गई हैं। O" से 0 α और 5 ", 6"। इसी प्रकार, क्षैतिज h" 1 ε पर हम 7" 1 और 8" 1 पाते हैं।

हम ललाट f" 1 γ ∥ f 1 α, f" 3 ∥ f 1 α और f" 4 ∥ f 1 α के प्रक्षेपण बनाते हैं। बिंदु 1" 1, 2" 1, 3" 1 और 4" 1 चौराहे पर स्थित हैं लम्बवत इन ललाटों को क्रमशः 1", 2", 3" और 4" से h 0α पर पुनर्स्थापित किया गया।

व्याख्यान 16. शंकु अनुमान

शंकु क्रांति का एक पिंड है।

एक सीधा वृत्ताकार शंकु घूर्णन पिंडों के प्रकारों में से एक से संबंधित है।

एक शंक्वाकार सतह किसी निश्चित बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा और कुछ के सभी बिंदुओं से क्रमिक रूप से गुजरने से बनती है

झुंड वक्र गाइड लाइन. स्थिर बिंदु S को शीर्ष कहा जाता है। शंकु का आधार एक बंद गाइड द्वारा बनाई गई सतह है।

एक शंकु जिसका आधार एक वृत्त है और जिसका शीर्ष S अक्ष पर है

आधार के मध्य से गुजरने वाले लम्ब को समकोण वृत्त कहते हैं

गोवी कोन. चावल। 1.

शंकु के ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण का निर्माण चित्र में दिखाया गया है। 2.

शंकु का क्षैतिज प्रक्षेपण शंकु के आधार के बराबर एक वृत्त है, और शंकु S का शीर्ष इसके केंद्र के साथ मेल खाता है। ललाट और प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण पर, शंकु को एक त्रिकोण के रूप में प्रक्षेपित किया जाता है।

का, आधार की चौड़ाई आधार के व्यास के बराबर है। और ऊंचाई शंकु की ऊंचाई के बराबर है. त्रिभुज की झुकी हुई भुजाएँ शंकु के सबसे बाहरी (रूपरेखा) जेनरेटर के प्रक्षेपण हैं।

शंकु की सतह पर बिंदुओं का निर्माण ऑर्थोगोनल और एक्सोनोमेट्रिक में

आकाश के प्रक्षेपण चित्र में दिखाए गए हैं। 2, 3.

यदि शंकु के ललाट प्रक्षेपण पर चित्र. 2 अंक ए और बी दिए गए हैं, फिर लुप्त प्रक्षेपण

इन बिंदुओं का निर्माण दो तरीकों से किया जा सकता है।

पहली विधि: किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाले सहायक जेनरेटर के प्रक्षेपण का उपयोग करना।

दिया गया है: बिंदु ए का ललाट प्रक्षेपण - बिंदु (ए') शंकु के दृश्य भाग के भीतर स्थित है।

शंकु के शीर्ष और दिए गए बिंदु (ए') के माध्यम से, हम शंकु के आधार तक एक सीधी रेखा खींचते हैं और बिंदु (ई') प्राप्त करते हैं - जेनरेट्रिक्स एस'ई' का आधार।

एच. आइए एक प्रक्षेपित सीधी रेखा खींचकर क्षैतिज प्रक्षेपण अर्थात शंकु के आधार के वृत्त के दृश्य भाग के भीतर खोजें, और परिणामी यानी ऊर्ध्वाधर के क्षैतिज प्रक्षेपण के साथ कनेक्ट करें

शंकु टायर एस.

चूंकि वांछित टी. ए छवि से संबंधित है

कॉलिंग एस'ई', तो इसे अपने क्षैतिज प्रक्षेपण पर झूठ बोलना चाहिए। इसलिए, संचार लाइन का उपयोग करके, हम इसे से लाइन में स्थानांतरित करते हैं और

हमें एक क्षैतिज प्रक्षेपण प्राप्त होता है टी. ए. प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण a” t. A निर्धारित करता है

क्षैतिज और ललाट से t.a ले जाने वाली संचार लाइनों के साथ प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण पर समान जेनरेटर s "e" के प्रतिच्छेदन द्वारा बनता है

नूह अनुमान.

प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण ए” टी. और इसमें

मामला, अदृश्य, क्योंकि यह सबसे बाहरी जनरेटर s”4” के प्रक्षेपण के पीछे स्थित है और कोष्ठक में दर्शाया गया है।

चावल। 3 दूसरी विधि: एक क्षैतिज विमान Pv pa- के साथ शंक्वाकार सतह के एक खंड के प्रक्षेपण का निर्माण करके

शंकु के आधार के समानांतर और दिए गए बिंदु बी से होकर गुजर रहा है। चित्र। 3. दिया गया: बिंदु बी का ललाट प्रक्षेपण - बिंदु बी', भीतर स्थित है

शंकु का दृश्य भाग.

बिंदु b' से होकर हम शंकु के आधार के समानांतर एक सीधी रेखा Pv खींचते हैं, जो

स्वर्ग काटने वाले तल P का ललाट प्रक्षेपण है। यह रेखा प्रतिच्छेद करती है

शंकु की धुरी बिंदु 01' में स्थित है और सबसे बाहरी जेनरेटर बिंदु k1' और k3' में स्थित है। सीधी रेखा खंड k1'k3' बिंदु b' के माध्यम से शंकु के खंड का ललाट प्रक्षेपण है।

इस खंड का क्षैतिज प्रक्षेपण एक वृत्त होगा, जिसकी त्रिज्या ललाट प्रक्षेपण पर सह-अक्ष से 01'k1' की दूरी के रूप में निर्धारित की जाती है।

चरम जनरेटर के लिए nous.

चूँकि बिंदु b' अनुभाग तल में स्थित है, कनेक्शन लाइन का उपयोग करके हम इसे शंकु के दृश्य भाग के भीतर अनुभाग के क्षैतिज प्रक्षेपण में स्थानांतरित करते हैं।

प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण बिंदु बी” को प्रोफ़ाइल के प्रतिच्छेदन के रूप में परिभाषित किया गया है

क्षैतिज से बिंदु बी की स्थिति को स्थानांतरित करने वाली संचार लाइन के साथ अनुभाग k2"k4" का प्रक्षेपण

आंचलिक प्रक्षेपण.

एक्सोनोमेट्री में शंकु की सतह पर बिंदुओं का निर्माण।

हम आयताकार आइसोमेट्री में एक शंकु बनाते हैं। एक्सोनोमेट्री में शंकु के आधार के वृत्त का निर्माण सिलेंडर के आधार के निर्माण को दोहराता है। (अनुभाग 8.2.1 देखें।) ऊर्ध्वाधर अक्ष पर शंकु की ऊंचाई को अलग रखते हुए, हम आधार अंडाकार के स्पर्शरेखा - दो जेनरेटर खींचते हैं।

पहला तरीका. चावल। 2.

हम एसई जेनरेटर का निर्माण करते हैं: एक्स या वाई अक्ष पर हम एक्स या वाई निर्देशांक प्लॉट करते हैं

Y क्षैतिज प्रक्षेपण पर यानी E के अनुरूप है और उनके माध्यम से क्रमशः Y या X अक्ष के समानांतर रेखाएँ खींचें। उनका प्रतिच्छेदन शंकु के आधार पर बिंदु E की स्थिति बताता है।

आइए t को जोड़ते हैं। E को शंकु S के शीर्ष और आधार t के केंद्र के साथ जोड़ते हैं। 0. परिणामी त्रिभुज S0E पर विचार करें: भुजा 0S, Z अक्ष के साथ संपाती शंकु की समरूपता की धुरी है। भुजा SE जेनरेट्रिक्स है उस शंकु का जिस पर t. A स्थित है। भुजा 0E, Z अक्ष कोण 900 के साथ त्रिभुज घटक का आधार है।

ऊंचाई एम. ए को अक्ष के लंबवत ललाट प्रक्षेपण पर लिया जाता है

शंकु को बिंदु a' पर मोड़ना और इसे Z अक्ष पर, यानी 0S तरफ एक्सोनोमेट्री में रखना।

परिणामी पायदान के माध्यम से हम त्रिभुज के तल में एक सीधी रेखा खींचते हैं

त्रिभुज के आधार के समानांतर जब तक कि यह एसई जेनरेटर के साथ प्रतिच्छेद न हो जाए। इस प्रकार, हम स्थिति m.A की ऊंचाई को शंकु की सतह पर स्थानांतरित करते हैं

दूसरा तरीका. चावल। 3.

हम आधार के समानांतर और बिंदु बी से गुजरने वाले एक विमान के साथ शंकु के एक खंड का निर्माण करते हैं। शंकु का ऐसा खंड एक वृत्त है जिसकी त्रिज्या बराबर है

खंड ओके टी.वी. की ऊंचाई के बराबर ऊंचाई पर स्थित है। एक्सोनोमेट्री में, यह वृत्त एक दीर्घवृत्त (या इसकी जगह एक अंडाकार) के रूप में बनाया गया है।

फिर, शंकु के आधार पर X और Y अक्षों पर, हम संगत आलेखित करते हैं

निर्देशांक

जो टी.वी. की स्थिति निर्धारित करेगा।

शंकु अनुभाग.

में शंकु से गुजरने वाले छेदक तल के स्थान की दिशा के आधार पर, एक लंब वृत्तीय शंकु के अनुभाग में कोई भी प्राप्त कर सकता है

विभिन्न सपाट आकृतियाँ:

ए - सीधी रेखाएं (उत्पन्न करने वाली) बी - अतिपरवलय

बी - वृत्त

जी – परवलय

डी - दीर्घवृत्त शंक्वाकार खंड - दीर्घवृत्त, परवलय और अतिपरवलय पैटर्न हैं

प्राकृतिक वक्र जो अनुभाग वक्र से संबंधित बिंदुओं से निर्मित होते हैं।

A. शंकु के शीर्ष से गुजरने वाले ऊर्ध्वाधर तल द्वारा उसका खंड एक सीधी रेखा है। चावल। 4.

बिंदु S के माध्यम से शंकु के क्षैतिज प्रक्षेपण पर हम X और Y अक्षों पर एक मनमाना कोण पर रेखा Ph खींचते हैं, जो छेदक का क्षैतिज प्रक्षेपण है

ऊर्ध्वाधर तल। यह रेखा

शंकु के आधार के वृत्त को दो बिंदुओं a और b पर प्रतिच्छेद करता है, और खंड aob शंकु के खंड का एक क्षैतिज प्रक्षेपण है।

आइए मानसिक रूप से शंकु के बाएँ भाग को Ph रेखा से हटा दें और इसके दाईं ओर हम काटे गए सह-का एक क्षैतिज प्रक्षेपण प्राप्त करते हैं।

खंड एसए और एसबी - क्षैतिज

शंकु के जेनरेटर के प्रक्षेपण जिसके साथ काटने वाला विमान पीएच गुजरता है।

हम जनरेटर SA और SB का निर्माण करते हैं

ललाट प्रक्षेपण, बिंदु ए और बी को इसमें स्थानांतरित करना और परिणामी बिंदुओं ए' और बी' को शीर्ष एस' से जोड़ना। त्रिभुज a's'b' अनुभाग का ललाट प्रक्षेपण होगा

शंकु, और रेखा s'3' शंकु का सबसे बाहरी जनरेटर है।

इसी प्रकार, हम चलते हुए शंकु अनुभाग का एक प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण बनाते हैं

एक प्रोफ़ाइल एक पर क्षैतिज प्रक्षेपण से बिंदु ए और बी और परिणामी बिंदु ए” और बी” को शंकु के शीर्ष के साथ जोड़ना”। त्रिभुज a"s"b" शंकु के खंड का एक प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण है, और रेखा s"2" शंकु का सबसे बाहरी जनरेटर है।

या क्रमशः एक्स. शंकु के आधार की रेखा के साथ उनका प्रतिच्छेदन हमें एक्सोनोमेट्री में बिंदु ए और बी प्राप्त करने की अनुमति देता है। उन्हें एक-दूसरे से जोड़कर, और उनमें से प्रत्येक को

शंकु S के शीर्ष के साथ, हमें त्रिभुज ABS प्राप्त होता है, जो ऊर्ध्वाधर तल P द्वारा शंकु का एक खंड है।

B. ऊर्ध्वाधर तल द्वारा शंकु का वह खंड जो इसके शीर्ष से नहीं गुजरता है, एक अतिपरवलय है। चावल। 5.

यदि ऊर्ध्वाधर काटने वाला विमान पी शंकु के शीर्ष से नहीं गुजरता है, तो यह अब इसकी पार्श्व सतह के जनरेटर के साथ मेल नहीं खाता है, बल्कि, इसके विपरीत, प्रतिच्छेद करता है

शंकु के क्षैतिज प्रक्षेपण पर हम शीर्ष S और समानांतर से मनमानी दूरी पर एक छेदक तल Ph खींचते हैं

Y अक्ष के साथ। सामान्य तौर पर, स्थिति

एक्स और वाई अक्षों के सापेक्ष काटने वाला तल कुछ भी हो सकता है।

रेखा Ph शंकु के आधार के वृत्त को दो बिंदुओं a और b पर प्रतिच्छेद करती है। इस रेखा का खंड ab एक क्षैतिज प्रक्षेपण है

शंकु अनुभाग का tion. हम Ph रेखा के बाईं ओर के वृत्त के भाग को एक मनमानी मात्रा में विभाजित करते हैं

समान भागों की संख्या, निचले मामले में 12 और फिर प्रत्येक परिणामी सटीक

वृत्त पर कू को शंकु s के शीर्ष से जोड़ें। ये चौराहे जनरेटर

कटिंग प्लेन Ph द्वारा काटे जाते हैं और हमें कई बिंदु प्राप्त होते हैं जो एक ही समय में जनरेटर और शंकु ab के अनुभाग के प्रक्षेपण से संबंधित होते हैं।

हम शंकु के ललाट प्रक्षेपण पर परिणामी जनरेटर का निर्माण करते हैं

हम क्षैतिज प्रक्षेपण से शंकु के आधार पर सभी बिंदुओं को स्थानांतरित करते हैं (ए, 1, ...,

5, बी) और ललाट प्रक्षेपण पर हम बिंदु (ए', 1', ..., 5', ए') प्राप्त करते हैं और उन्हें शंकु के शीर्ष से जोड़ते हैं। बिंदु बी' के माध्यम से ललाट प्रक्षेपण पर हम शंकु के आधार पर लंबवत कटिंग विमान पीवी खींचते हैं। रेखा पी.वी. पार करती है

सभी जनरेटर और उनके प्रतिच्छेदन बिंदु शंकु के अनुभाग के प्रक्षेपण से संबंधित हैं।

आइए शंकु के प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण पर सभी जनरेटर के निर्माण को दोहराएं, क्षैतिज प्रक्षेपण से बिंदुओं (ए, 1, ..., 5, बी) को इसमें स्थानांतरित करें। परिणामी बिंदु (a”, 1”, …, 5”, b”) शीर्ष s” से जुड़े हुए हैं।

हम ललाट प्रक्षेपण से कटिंग प्लेन पीवी के साथ संबंधित जनरेटर के चौराहे के बिंदुओं को परिणामी जनरेटर में स्थानांतरित करते हैं। हम परिणामी बिंदुओं को एक घुमावदार रेखा से जोड़ते हैं, जो एक पैटर्न का प्रतिनिधित्व करती है

वक्र - अतिपरवलय.

एक्सोनोमेट्री का निर्माण. चावल। 5.

जैसा कि ऊपर वर्णित है, हम एक्सोनोमेट्री में एक शंकु बनाते हैं।

इसके बाद, शंकु के क्षैतिज प्रक्षेपण से, हम सभी बिंदुओं ए, 1, ..., 5, बी के लिए एक्स या वाई अक्ष के साथ निर्देशांक लेते हैं और उन्हें एक्सोनोमेट्रिक एक्स या वाई अक्षों पर स्थानांतरित करते हैं और आधार पर उनकी स्थिति पाते हैं। एक्सोनोमेट्री में शंकु का। कनेक्ट

उन्हें शंकु S के शीर्ष के साथ श्रृंखला में और हम ऑर्थोगोनल प्रक्षेपणों पर जनरेटर के अनुरूप शंकु की सतह पर जनरेटर की एक श्रृंखला प्राप्त करते हैं।

प्रत्येक जेनरेट्रिक्स पर हम काटने वाले विमान पी के साथ इसके प्रतिच्छेदन बिंदु को उसी तरह से पाते हैं जैसा कि ऊपर वर्णित है (शंकु की सतह पर बिंदुओं का निर्माण देखें, पहली विधि)।

जनरेटर पर प्राप्त पैटर्न वक्र के बिंदुओं के साथ-साथ बिंदु ए और बी को जोड़कर, हम काटे गए शंकु का एक एक्सोनोमेट्रिक प्रक्षेपण प्राप्त करते हैं।

बी एक क्षैतिज तल द्वारा शंकु का खंड। चावल। 6.

आधार के समानांतर क्षैतिज तल वाले एक लंब वृत्तीय शंकु का अनुप्रस्थ काट एक वृत्त है।

यदि हम शंकु को शंकु के आधार से बिंदु a' के माध्यम से एक मनमानी ऊंचाई h पर काटते हैं

इसके आधार के समानांतर एक विमान के साथ इसके ओ अक्ष पर झूठ बोलते हुए, ललाट प्रक्षेपण पर हम क्षैतिज रेखा पीवी देखेंगे, जो काटने वाले विमान का ललाट प्रक्षेपण है जो अनुभाग बनाता है

शंकु I', II', III', IV'। प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण पर

काटने वाले तल का W दृश्य और शंकु का खंड समान है और रेखा Pw के अनुरूप है।

क्षैतिज प्रक्षेपण पर, एक खंड

शंकु प्राकृतिक रूप से एक वृत्त है

ny मान, जिसके वृत्त की त्रिज्या को ललाट प्रक्षेपण से शंकु के अक्ष से बिंदु a' से बिंदु I' तक की दूरी के रूप में प्रक्षेपित किया जाता है, जो सबसे बाहरी जनरेटर 1' पर स्थित है।

एक्सोनोमेट्री का निर्माण. चावल। 6.

जैसा कि वर्णित है, हम एक्सोनोमेट्री में एक शंकु बनाते हैं

सानो ऊपर.

फिर Z अक्ष पर हम शंकु के आधार से बिंदु A की ऊंचाई h आलेखित करते हैं। बिंदु A से होकर हम X और Y अक्षों के समानांतर रेखाएँ खींचते हैं और उस पर एक वृत्त बनाते हैं

त्रिज्या R=a'I' के साथ एक्सोनोमेट्री ललाट प्रक्षेपण से ली गई है।

डी जनरेटर के समानांतर एक झुके हुए विमान द्वारा शंकु का खंड। चावल। 7.

हम शंकु के तीन प्रक्षेपण बनाते हैं - क्षैतिज, ललाट और प्रोफ़ाइल। (ऊपर देखें)।

शंकु के ललाट प्रक्षेपण पर, हम इसके मूल से एक मनमाना दूरी पर आउटलाइन जेनरेटर s'6' के समानांतर एक छेदक विमान Pv खींचते हैं।

बिंदु a'(b') के माध्यम से शंकु के आधार पर la। खंड a'c' शंकु के अनुभाग का ललाट प्रक्षेपण है।

क्षैतिज प्रक्षेपण पर हम बिंदु ए, बी के माध्यम से काटने वाले विमान पी के आधार का प्रक्षेपण बनाते हैं। खंड एबी शंकु खंड के आधार का प्रक्षेपण है।

इसके बाद, हम शंकु के आधार की परिधि को मनमाने ढंग से भागों में विभाजित करते हैं और परिणामी बिंदुओं को शंकु के शीर्ष से जोड़ते हैं। हम शंकु के जेनरेटर की एक श्रृंखला प्राप्त करते हैं, जिसे हम क्रमिक रूप से ललाट और प्रोफ़ाइल अनुमानों में स्थानांतरित करते हैं। (बिंदु बी देखें)।

ललाट प्रक्षेपण पर, काटने वाले विमान पीवी का निशान छवि को काटता है

काटने और चौराहे पर कई बिंदु मिलते हैं जो एक ही समय में छेदक तल और शंकु के जनरेटर दोनों से संबंधित होते हैं।

हम संचार लाइनों का उपयोग करके इन बिंदुओं को क्षितिज पर जनरेटर के अनुमानों में स्थानांतरित करते हैं।

ज़ोनटल और प्रोफ़ाइल अनुमान।

हम परिणामी बिंदुओं को एक घुमावदार रेखा से जोड़ते हैं, जो दर्शाता है

पैटर्न वक्र - परवलय।

एक्सोनोमेट्री का निर्माण. चावल। 7.

जैसा कि ऊपर वर्णित है, हम शंकु का एक एक्सोनोमेट्रिक प्रक्षेपण बनाते हैं।

सभी बिंदु (ए, बी, 1, ..., 6) और उन्हें क्रमशः एक्सोनोमेट्रिक अक्ष एक्स या वाई पर स्थानांतरित करें, इस प्रकार उनकी स्थिति निर्धारित करें

एक्सोनोमेट्री में शंकु के आधार पर गति। हम उन्हें शीर्ष के साथ श्रृंखला में जोड़ते हैं

शंकु एस और हम ऑर्थोगोनल प्रक्षेपणों पर जनरेटर के अनुरूप शंकु की सतह पर जनरेटर की एक श्रृंखला प्राप्त करते हैं।

प्रत्येक जेनरेट्रिक्स पर हम कटिंग प्लेन पी के साथ इसके प्रतिच्छेदन का बिंदु पाते हैं

ऊपर वर्णित तरीके के समान (शंकु की सतह पर बिंदुओं का निर्माण देखें)।

D. शंकु के आधार पर एक मनमाने कोण पर स्थित झुके हुए तल से शंकु का खंड एक दीर्घवृत्त होता है। चावल। 8.

हम शंकु के तीन प्रक्षेपण बनाते हैं - क्षैतिज, ललाट और प्रो-

फिलिन. (ऊपर देखें)।

शंकु के ललाट प्रक्षेपण पर, शंकु के आधार पर एक मनमाना कोण पर काटने वाले विमान Pv की एक रेखा खींचें।

एक क्षैतिज प्रक्षेपण पर, हम शंकु के आधार के वृत्त को मनमाने ढंग से समान भागों (इंच) में विभाजित करते हैं इस मामले में 12) तक और प्राप्त हुआ -

हम इन बिंदुओं को शंकु एस के शीर्ष से जोड़ते हैं। हम जेनरेटर की एक श्रृंखला प्राप्त करते हैं, जो संचार लाइनों का उपयोग करके क्रमिक रूप से ललाट और प्रोफ़ाइल अनुमानों में स्थानांतरित होते हैं।

ललाट प्रक्षेपण पर, काटने वाला विमान पीवी सभी जनरेटरों को काटता है, और उनके चौराहे के परिणामी बिंदु एक साथ से संबंधित होते हैं-

वास्तविक तल और शंकु की पार्श्व सतह, वांछित खंड का ललाट प्रक्षेपण है।

हम इन बिंदुओं को शंकु के क्षैतिज प्रक्षेपण में स्थानांतरित करते हैं।

फिर हम पैटर्न वक्र के परिणामी बिंदुओं को जोड़ते हुए शंकु के खंड (ऊपर देखें) का एक प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण बनाते हैं, जो एक विद्युत है

अनुभाग के प्राकृतिक आकार का निर्माण.

क्षैतिज और प्रोफ़ाइल प्रक्षेपणों पर पैटर्न वक्र (दीर्घवृत्त) एक शंकु के क्रॉस सेक्शन की विकृत छवियां हैं।

वास्तविक (प्राकृतिक) क्रॉस-सेक्शनल मान संयोजन द्वारा प्राप्त किया जाता है

प्रक्षेपणों के क्षैतिज तल के साथ छेदक तल P का H. हम ललाट प्रक्षेपण पर शंकु खंड के सभी बिंदुओं को कम्पास का उपयोग करके X अक्ष पर स्थानांतरित करते हैं, उन्हें बिंदु k के चारों ओर घुमाते हैं। अगला, क्षैतिज प्रक्षेपण पर, हम उन्हें जारी रखते हैं Y अक्ष के समानांतर कनेक्शन लाइनों के साथ जब तक कि वे इसके साथ प्रतिच्छेद न करें-

संबंधित बिंदुओं के क्षैतिज प्रक्षेपण से ली गई कनेक्शन लाइनें। पी.ई-

संबंधित बिंदुओं के कनेक्शन की क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर रेखाओं को काटने से अनुभाग के प्राकृतिक आकार से संबंधित बिंदु प्राप्त करना संभव हो जाता है। उन्हें एक पैटर्न वक्र के साथ जोड़कर, हम शंकु अनुभाग का एक प्राकृतिक आकार का दीर्घवृत्त प्राप्त करते हैं।

काटे गए शंकु की एक्सोनोमेट्री का निर्माण। चावल। 8.

ऊपर वर्णित किसी भी विधि का उपयोग करके शंकु के अनुभाग से संबंधित बिंदुओं को ढूंढकर एक काटे गए शंकु की एक्सोनोमेट्री का निर्माण किया जाता है (ऊपर देखें)।

एक काटे गए शंकु की सतह के विकास का निर्माण। चावल। 8.

आइए पहले हम गैर-काटे गए की पार्श्व सतह का विकास करें

कोन हम शीट पर बिंदु S की स्थिति निर्धारित करते हैं और शंकु के जेनरेटर की लंबाई के प्राकृतिक मान के बराबर त्रिज्या के साथ इसमें से एक चाप खींचते हैं (उदाहरण के लिए, s'1'या s'7')। हम इस चाप पर बिंदु 1 की स्थिति निर्धारित करते हैं। हम क्रमिक रूप से इसमें से उतने ही समान खंड (जीवाएं) निकालते हैं, जितने भागों में शंकु के आधार की परिधि को विभाजित किया जाता है। चाप पर प्राप्त बिंदु 1, 2, ..., 12, 1 बिंदु एस से जुड़े हुए हैं। सेक्टर 1 एस 1 पार्श्व सतह का विकास है जिसे काटा नहीं गया है

बढ़िया शंकु. क्षैतिज प्रक्षेपण से लिए गए एक वृत्त के रूप में शंकु के आधार के प्राकृतिक आकार को निचले हिस्से में (उदाहरण के लिए, बिंदु 2 पर) जोड़कर, हम

हम एक गैर-काटे गए शंकु का पूर्ण विकास प्राप्त करते हैं।

काटे गए शंकु की पार्श्व सतह के विकास का निर्माण करने के लिए, सभी काटे गए जनरेटरों का वास्तविक आकार निर्धारित करना आवश्यक है। पर

ललाट प्रक्षेपण में, हम अनुभाग के सभी बिंदुओं को शंकु के आधार के समानांतर रेखाओं के साथ आउटलाइन जेनरेटर s'7' पर स्थानांतरित करते हैं। फिर हम जेनरेट्रिक्स के प्रत्येक खंड को बिंदु 7' से खंड के संबंधित बिंदु तक विकास पर संबंधित जेनरेट्रिक्स में स्थानांतरित करते हैं। विकास पर इन बिंदुओं को जोड़कर, हम पार्श्व सतह की अनुभाग रेखा के अनुरूप एक घुमावदार रेखा प्राप्त करते हैं

फिर विकास पर सेक्शन लाइन पर लागू करें (उदाहरण के लिए, जेनरेटर एस1 पर)

हम क्षैतिज प्रक्षेपण विमान एच पर प्राप्त एक प्राकृतिक आकार के क्रॉस-अनुभागीय दीर्घवृत्त का निर्माण करते हैं।

ज्यामितीय निकायों की सतह के विकास चित्र हैं

- पेपर पैटर्न और आकृति का लेआउट बनाने के लिए उपयोग किया जाता है।

यदि एक छोटे शंकु को आधार के समांतर समतल द्वारा शंकु से काट दिया जाए तो एक कटा हुआ शंकु प्राप्त होता है (चित्र 8.10)। एक काटे गए शंकु के दो आधार होते हैं: "निचला" - मूल शंकु का आधार - और "ऊपरी" - कटे हुए शंकु का आधार। शंकु के अनुभाग पर प्रमेय के अनुसार, काटे गए शंकु के आधार समान होते हैं .

एक काटे गए शंकु की ऊंचाई एक आधार के एक बिंदु से दूसरे आधार के तल पर खींचा गया लंबवत है। ऐसे सभी लंब समान हैं (धारा 3.5 देखें)। ऊँचाई को उनकी लंबाई भी कहा जाता है, अर्थात आधारों के तलों के बीच की दूरी।

परिक्रमण शंकु से काटे गए परिक्रमण शंकु को प्राप्त किया जाता है (चित्र 8.11)। इसलिए, इसके आधार और उनके समानांतर सभी खंड एक ही सीधी रेखा पर - अक्ष पर केंद्र वाले वृत्त हैं। क्रांति का एक छोटा शंकु एक आयताकार ट्रेपेज़ॉइड को उसके किनारों के चारों ओर आधारों के लंबवत घुमाकर, या घुमाकर प्राप्त किया जाता है

समरूपता के अक्ष के चारों ओर समद्विबाहु समलम्बाकार (चित्र 8.12)।

क्रांति के काटे गए शंकु की पार्श्व सतह

यह परिक्रमण शंकु की पार्श्व सतह का वह भाग है जिससे यह निकला है। क्रांति के एक काटे गए शंकु की सतह (या इसकी पूरी सतह) में इसके आधार और इसकी पार्श्व सतह शामिल होती है।

8.5. क्रांति के शंकु और क्रांति के काटे गए शंकु की छवियाँ।

एक सीधा वृत्ताकार शंकु इस प्रकार बनाया गया है। सबसे पहले, आधार के वृत्त को दर्शाने वाला एक दीर्घवृत्त बनाएं (चित्र 8.13)। फिर वे आधार का केंद्र - बिंदु O ढूंढते हैं और एक ऊर्ध्वाधर खंड PO बनाते हैं, जो शंकु की ऊंचाई को दर्शाता है। बिंदु P से, दीर्घवृत्त पर स्पर्शरेखा (संदर्भ) रेखाएं खींचें (व्यावहारिक रूप से यह एक रूलर लगाकर आंख द्वारा किया जाता है) और बिंदु P से स्पर्शरेखा A और B के बिंदुओं तक इन रेखाओं के खंड RA और PB का चयन करें। कृपया ध्यान दें कि खंड AB आधार शंकु का व्यास नहीं है, और त्रिभुज एआरवी शंकु का अक्षीय खंड नहीं है। शंकु का अक्षीय खंड एक त्रिभुज APC है: खंड AC बिंदु O से होकर गुजरता है। अदृश्य रेखाएँ स्ट्रोक से खींची जाती हैं; खंड ओपी को अक्सर नहीं खींचा जाता है, बल्कि शंकु पी के शीर्ष को सीधे आधार के केंद्र - बिंदु ओ के ऊपर चित्रित करने के लिए मानसिक रूप से रेखांकित किया जाता है।

परिक्रमण के काटे गए शंकु का चित्रण करते समय, पहले उस शंकु को खींचना सुविधाजनक होता है जिससे काटे गए शंकु को प्राप्त किया जाता है (चित्र 8.14)।

8.6. शंक्वाकार खंड. हम पहले ही कह चुके हैं कि समतल घूर्णन सिलेंडर की पार्श्व सतह को एक दीर्घवृत्त के अनुदिश काटता है (खंड 6.4)। इसके अलावा, एक समतल द्वारा घूर्णन के शंकु की पार्श्व सतह का वह खंड जो इसके आधार को नहीं काटता है, एक दीर्घवृत्त है (चित्र 8.15)। इसलिए, दीर्घवृत्त को शंकु खंड कहा जाता है।

शंकुधारी वर्गों में अन्य प्रसिद्ध वक्र भी शामिल हैं - हाइपरबोलस और परवलय। आइए परिक्रमण शंकु की पार्श्व सतह का विस्तार करके प्राप्त एक असीमित शंकु पर विचार करें (चित्र 8.16)। आइए इसे एक ऐसे समतल a से प्रतिच्छेद करें जो शीर्ष से नहीं गुजरता है। यदि शंकु के सभी जनरेटरों को काटता है, तो अनुभाग में, जैसा कि पहले ही कहा गया है, हमें एक दीर्घवृत्त प्राप्त होता है (चित्र 8.15)।

OS समतल को घुमाकर, आप यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि यह शंकु K के सभी जेनरेटर को काटता है, एक को छोड़कर (जिसके लिए OS समानांतर है)। फिर क्रॉस सेक्शन में हमें एक परवलय मिलता है (चित्र 8.17)। अंत में, समतल OS को आगे घुमाते हुए, हम इसे ऐसी स्थिति में स्थानांतरित करेंगे कि A, शंकु K के जनरेटरों का हिस्सा, इसके अन्य जनरेटरों की अनंत संख्या को नहीं काटता है और उनमें से दो के समानांतर है (चित्र 8.18) ). फिर शंकु K के समतल a वाले खंड में हमें एक वक्र प्राप्त होता है जिसे हाइपरबोला कहा जाता है (अधिक सटीक रूप से, इसकी "शाखा" में से एक)। इस प्रकार, एक हाइपरबोला, जो एक फ़ंक्शन का ग्राफ है, हाइपरबोला का एक विशेष मामला है - एक समबाहु हाइपरबोला, जैसे एक वृत्त एक दीर्घवृत्त का एक विशेष मामला है।

प्रक्षेपण का उपयोग करके समबाहु अतिपरवलय से कोई भी अतिपरवलय प्राप्त किया जा सकता है, उसी प्रकार जैसे किसी वृत्त के समानांतर प्रक्षेपण द्वारा दीर्घवृत्त प्राप्त किया जाता है।

हाइपरबोला की दोनों शाखाएं प्राप्त करने के लिए, शंकु का एक खंड लेना आवश्यक है जिसमें दो "गुहाएं" हों, अर्थात, एक शंकु जो किरणों द्वारा नहीं, बल्कि शंकु की पार्श्व सतहों के जनरेटर युक्त सीधी रेखाओं द्वारा बनता है। क्रांति (चित्र 8.19)।

शांकव खंडों का अध्ययन प्राचीन यूनानी ज्यामितिकारों द्वारा किया गया था, और उनका सिद्धांत प्राचीन ज्यामिति के शिखरों में से एक था। प्राचीन काल में शंकु वर्गों का सबसे संपूर्ण अध्ययन पेर्गा के अपोलोनियस (तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व) द्वारा किया गया था।

ऐसे कई महत्वपूर्ण गुण हैं जो दीर्घवृत्त, अतिपरवलय और परवलय को एक वर्ग में जोड़ते हैं। उदाहरण के लिए, वे "गैर-पतित" को समाप्त कर देते हैं, यानी, ऐसे वक्र जो किसी बिंदु, रेखा या रेखाओं की जोड़ी तक कम नहीं होते हैं, जिन्हें फॉर्म के समीकरणों द्वारा कार्टेशियन निर्देशांक में विमान पर परिभाषित किया जाता है

शंक्वाकार खंड प्रकृति में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं: पिंड गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में अण्डाकार, परवलयिक और अतिशयोक्तिपूर्ण कक्षाओं में चलते हैं (केप्लर के नियमों को याद रखें)। शंकु वर्गों के उल्लेखनीय गुणों का उपयोग अक्सर विज्ञान और प्रौद्योगिकी में किया जाता है, उदाहरण के लिए, कुछ ऑप्टिकल उपकरणों या सर्चलाइटों के निर्माण में (सर्चलाइट में दर्पण की सतह परवलय की धुरी के चारों ओर परवलय के चाप को घुमाकर प्राप्त की जाती है) ). शंक्वाकार खंडों को गोल लैंपशेड की छाया की सीमाओं के रूप में देखा जा सकता है (चित्र 8.20)।

एक समतल द्वारा शंकु का खंड

परिक्रमण शंकु के खंड में काटने वाले तल की स्थिति की निर्भरता को ध्यान में रखते हुए, विभिन्न रेखाएँ प्राप्त की जा सकती हैं, जिन्हें शंकु खंड की रेखाएँ कहा जाता है।

यदि काटने वाला तल शंकु के शीर्ष से होकर गुजरता है, तो इसका खंड सीधी रेखाओं - जनरेटर (त्रिकोण) की एक जोड़ी बनाता है। शंकु की धुरी के लंबवत समतल के साथ शंकु के प्रतिच्छेदन के परिणामस्वरूप, एक वृत्त प्राप्त होता है। यदि काटने वाला तल शंकु के घूर्णन अक्ष की ओर झुका हुआ है और इसके शीर्ष से नहीं गुजरता है, तो शंकु के अनुभाग में एक दीर्घवृत्त दिखाई दे सकता है (काटने वाला तल शंकु के सभी जनरेटरों को काटता है); छेदक तल के झुकाव के कोण के आधार पर एक परवलय (काटने वाला तल शंकु के किसी एक जेनरेटर के समानांतर होता है) या एक हाइपरबोला (इस मामले में, काटने का तल शंकु के दो जेनरेटर के समानांतर होता है) (चित्र)। 39).

चावल। 39

ह ज्ञात है कि एक बिंदु किसी सतह से संबंधित होता है यदि वह इस सतह की किसी रेखा से संबंधित हो।एक शंकु के लिए, ग्राफ़िक रूप से सबसे सरल रेखाएँ जनरेटर और वृत्त हैं। नतीजतन, यदि समस्या की स्थितियों के अनुसार शंकु की सतह से संबंधित बिंदुओं के क्षैतिज प्रक्षेपण को ढूंढना आवश्यक है, तो इन रेखाओं में से एक को बिंदुओं के माध्यम से खींचा जाना चाहिए।

चित्र 40 एक शंकु की अनुभाग रेखा के प्रक्षेपण के निर्माण का एक उदाहरण देता है, जब खंड में एक दीर्घवृत्त प्राप्त होता है।

जब एक शंक्वाकार सतह एक समतल को काटती है तो प्राप्त घुमावदार रेखा का निर्माण करने के लिए, सामान्य स्थिति में, काटने वाले तल के साथ शंक्वाकार सतह के जनरेटर के प्रतिच्छेदन के बिंदु पाए जाते हैं। ऐसा करने के लिए, आप शंकु के आधार को समान संख्या में भागों (आमतौर पर 12) में विभाजित कर सकते हैं, जनरेटर s1, s2,... s12 के क्षैतिज प्रक्षेपण खींच सकते हैं और उनके ललाट प्रक्षेपण का निर्माण कर सकते हैं। ललाट प्रक्षेपण पर, निर्मित जनरेटर के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के ललाट प्रक्षेपण को सेकेंड प्लेन क्यू के ललाट निशान के साथ चिह्नित किया जाता है। जनरेटर के संबंधित अनुमानों पर प्रक्षेपण कनेक्शन में क्षैतिज प्रक्षेपण का निर्माण किया जाता है। शंकु अनुभाग रेखा, समतल Q का प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण, प्रक्षेपण कनेक्शन में बिंदुओं के ललाट और क्षैतिज प्रक्षेपण का उपयोग करके बनाया गया है।

1) वृत्त (चित्र 308ए), यदि काटने वाला तल शंकु के घूर्णन अक्ष के लंबवत है;
2) दीर्घवृत्त (चित्र 308, बी) - एक बंद वक्र यदि काटने वाला विमान घूर्णन की धुरी पर झुका हुआ है और शंकु के सभी जनरेटर को काटता है;
3) परवलय (चित्र 308, सी) - एक खुला वक्र यदि काटने वाला तल शंकु के किसी एक जनरेटर के समानांतर है;
4) हाइपरबोला (चित्र 308, डी) - एक खुला वक्र यदि काटने वाला तल शंकु के दो जेनरेटर के समानांतर है (विशेषकर, जब काटने वाला तल शंकु की धुरी के समानांतर है);
5) सीधी रेखाएं (चित्र 308, डी), यदि काटने वाला तल शंकु के शीर्ष से होकर गुजरता है।
तीसरे और चौथे मामले में, काटने वाला तल शंकु के सभी जनरेटरों को नहीं काटता है, जिसके परिणामस्वरूप अनुभाग वक्र खुला रहेगा।
1. एक सीधे वृत्ताकार शंकु का खंड दो जनरेटरों के साथ शंकु के शीर्ष से गुजरते हुए एक सामने से प्रक्षेपित विमान द्वारा (चित्र 309)।

सामने से प्रक्षेपित समतल δ शंकु की सतह को जनरेटर एसए और एसबी और शंकु के आधार की जीवा एबी के साथ काटता है।
I. एस 2 ए 2 और एस 2 बी 2 जनरेटर का फ्रंटल प्रक्षेपण फ्रंटल प्रक्षेपण δ 2 के साथ मेल खाने वाले खंड हैं; जीवा एबी का फ्रंटल प्रक्षेपण बिंदु बी 2 = ए 2 है।
अनुभाग का क्षैतिज प्रक्षेपण एक समद्विबाहु त्रिभुज A 1 S 1 B 1 द्वारा दर्शाया जाएगा, जिसकी भुजाएँ जनरेटर के S 1 A 1 और S 1 B 1 के प्रक्षेपण होंगे और आधार A 1 का प्रक्षेपण होगा। राग का बी 1.
द्वितीय. हम निम्नलिखित क्रम में एक काटे गए शंकु का एक आइसोमेट्रिक प्रक्षेपण बनाते हैं: एक गैर-काटे गए शंकु का एक आइसोमेट्रिक प्रक्षेपण का निर्माण करते हैं; इसके आधार पर हम k आकार का उपयोग करके जीवा AB खींचते हैं। हम बिंदु A" और B" को सीधी रेखाओं के साथ शीर्ष S से जोड़ते हैं। हम दृश्यमान और अदृश्य तत्वों को संबंधित रेखाओं से रेखांकित करते हैं और अनुभाग को छायांकित करते हैं।
चित्र 310)।

स्तर λ का क्षैतिज तल शंकु की पार्श्व सतह को एक वृत्त के अनुदिश काटता है - एक समानांतर।
I. अनुभागीय आकृति का ललाट प्रक्षेपण, क्रॉस-सेक्शनल सर्कल डी 1 के व्यास के बराबर एक खंड है जो ललाट प्रक्षेपण λ 2 के साथ मेल खाता है। क्षैतिज प्रक्षेपण - वृत्त.
द्वितीय. एक काटे गए शंकु के एक्सोनोमेट्रिक प्रक्षेपण (डिमेट्री) का निर्माण निम्नलिखित क्रम में किया जाता है।
II, a: z-अक्ष पर हम बिंदु O" को चिह्नित करते हैं - आधार का केंद्र और बिंदु O" 1 - खंड आकृति का केंद्र H 1 के बराबर दूरी पर। इन बिंदुओं को केंद्र के रूप में लेते हुए, हम एक्सोनोमेट्रिक अनुमान बनाते हैं आधार और अनुभाग आकृति का - दो अंडाकार, क्षैतिज प्रक्षेपण से लिए गए आयाम डी और डी 1 का उपयोग करते हुए।
द्वितीय, बी. हम समोच्च जनरेटर बनाते हैं, दृश्यमान और अदृश्य तत्वों को संबंधित रेखाओं से रेखांकित करते हैं और अनुभाग को छायांकित करते हैं।
अंजीर। 311).

मैं एक। खंड का ललाट प्रक्षेपण खंड ए 2 बी 2 द्वारा प्रकट होता है, जो प्रक्षेपण δ 2 के साथ विलय होता है और दीर्घवृत्त के प्रमुख अक्ष के बराबर होता है।
खंड के सिरों के क्षैतिज प्रक्षेपण ए 1 और बी 1 समोच्च जेनरेटर के क्षैतिज प्रक्षेपण पर स्थित हैं, जिनके स्थान ऊर्ध्वाधर संचार लाइनों का उपयोग करके निर्धारित किए जाते हैं।
दीर्घवृत्त के लघु अक्ष के ललाट प्रक्षेपण की पहचान बिंदु C 2 = D 2 से होती है, जो खंड A 2 B 2 के मध्य में स्थित है। लघु अक्ष के सिरों के क्षैतिज प्रक्षेपण C 1 और D 1 जनरेटर S 1 K 1 और S 1 K के प्रक्षेपण पर स्थित हैं, जिसमें बिंदु C 1 और D 1 के बीच की दूरी दीर्घवृत्त के लघु अक्ष के बराबर है . बिंदु ए, बी और सी, डी - अक्षों के सिरे, संदर्भ (विशेषता) कहलाते हैं।
मैं, बी. मध्यवर्ती बिंदुओं E, F, N और ¯M के क्षैतिज प्रक्षेपण अतिरिक्त जनरेटर का उपयोग करके निर्धारित किए जाते हैं; साथ ही बिंदु सी, डी के प्रक्षेपण।
मैं सदी अनुभागीय आकृति का प्राकृतिक आकार - एक दीर्घवृत्त - प्रक्षेपण विमान को बदलकर पाया गया था, और यह केवल संदर्भ बिंदु ए, बी, सी और डी खोजने के लिए पर्याप्त है; यह जानते हुए कि खंड ए 2 बी 2 की लंबाई दीर्घवृत्त के प्रमुख अक्ष के बराबर है, और बिंदु सी 1 डी 1 के बीच की दूरी लघु अक्ष के बराबर है, आप एक दीर्घवृत्त का निर्माण कर सकते हैं (चित्र 150 देखें)।
द्वितीय. एक काटे गए शंकु की सतह के विकास को प्राप्त करने के लिए, एक गैर-काटे गए शंकु की सतह के विकास का निर्माण किया जाता है, फिर रेडी आर, आर 1, आर 2, आर 3 और आर 4 और जनरेटर के साथ समानताएं विकास पर लागू की जाती हैं। पार्श्व सतह की, जिसकी सहायता से संदर्भ और मध्यवर्ती बिंदु पाए जाते हैं। ऐसा करने के लिए, क्षैतिज प्रक्षेपण पर चापों के खंडों को बिंदु K 2 1 और K 1 1 के बीच विभाजित करें; क 1 1 और क 0 1; K 0 1 और K 3 1 को छोटे-छोटे भागों में बाँट लें।
संबंधित समानताओं के साथ जेनरेटर के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के माध्यम से एक घुमावदार खंड रेखा खींची जाती है। अनुभाग रेखा के किसी भी बिंदु पर एक दीर्घवृत्त-खंड जोड़कर, उदाहरण के लिए बिंदु बी पर, संबंधित बिंदु एक काटे गए शंकु की सतह का स्कैन होता है।
तृतीय. एक्सोनोमेट्रिक प्रोजेक्शन (आइसोमेट्री) का निर्माण करते समय, आप निम्नलिखित क्रम का पालन कर सकते हैं:
तृतीय, ए. शंकु के आधार का एक एक्सोनोमेट्रिक प्रक्षेपण निर्मित किया गया है; x-अक्ष पर आधार पर "बिंदुओं को चिह्नित करें ए" 1, II" 1, ओ" 1, IV" 1, बी" 1,क्षैतिज प्रक्षेपण से लिए गए आयामों का उपयोग करना। बिंदु A" 1 और B" 1 से खींची गई सीधी रेखाओं पर, इन बिंदुओं की ऊंचाई आलेखित की जाती है।
फिर परिणामी बिंदु A", B" को एक सीधी रेखा से जोड़ दिया जाता है और उस पर बिंदु II" 1, O" 1, IV" 1, बिंदु II" 1, O" 1, IV" 1 से लंबवत रेखाएं खींचकर जोड़ दिए जाते हैं। प्राप्त किया।
बिंदु II", O", IV" के माध्यम से सीधी रेखाएं y-अक्ष के समानांतर खींची जाती हैं और उन पर लिए गए आयामों का उपयोग करके बिंदु F" और E", D" और C", N" और M" पाए जाते हैं। अनुभाग का क्षैतिज प्रक्षेपण.
अंक ए", ई", सी, एम", बी", एन", डी", एफऔर ए" एक वक्र द्वारा क्रमिक रूप से जुड़े हुए हैं; समोच्च जनरेटर खींचे जाते हैं और दृश्यमान और अदृश्य तत्वों की रूपरेखा तैयार की जाती है।
.

मैं एक। अनुभाग का ललाट प्रक्षेपण प्रक्षेपण δ 2 के साथ विलय करने वाले एक खंड द्वारा प्रकट होता है
अनुभाग का क्षैतिज प्रक्षेपण समानताओं का उपयोग करके पाया जाता है।
शंकु की पार्श्व सतह के प्रक्षेपणों पर, समानताएं (उदाहरण के लिए, तीन) के प्रक्षेपण लागू होते हैं, और छोटे को समोच्च जनरेटर के प्रक्षेपण के साथ प्रक्षेपण δ 2 के चौराहे के बिंदु डी 2 से गुजरना चाहिए।
मैं, बी. प्रक्षेपण δ 2 आधार और समानांतर के प्रक्षेपणों को बिंदु A 2, B 2, C 2, D 2 और C 1 2, B 1 2, A 1 2 पर प्रतिच्छेद करता है।
ऊर्ध्वाधर संचार लाइनों का उपयोग करते हुए, इन बिंदुओं के क्षैतिज प्रक्षेपण A 1, B 1, C 1, D 1 और C 1 1, B 1 1, A 1 1 खोजें।
बिंदुओं के माध्यम से एक चिकना वक्र बनाना ए 1 बी 1 सी 1 डी 1 सी 1 1, बी 1 1और A 1 1 प्रतिच्छेदन रेखा का एक क्षैतिज प्रक्षेपण होगा, और सीधी रेखा A 1 A 1 1 शंकु के आधार की खंड रेखा का एक प्रक्षेपण होगा।
मैं सी। शंकु का क्रॉस-अनुभागीय आंकड़ा या तो प्रक्षेपण विमानों को बदलकर पाया जा सकता है, या किसी दिए गए शीर्ष डी 1 और बिंदु ए 1 ए 1 1 का उपयोग करके एक परवलय का निर्माण करके पाया जा सकता है, जिसकी स्थिति एक जटिल ड्राइंग से निर्धारित की जाती है।
द्वितीय. साइड सरफेस स्कैन का निर्माण पिछले उदाहरण में दिखाए गए जैसा ही है। पूर्ण विकास प्राप्त करने के लिए, सेक्टर के चाप के संबंधित बिंदु से एक वृत्त जुड़ा होता है, उदाहरण के लिए, बिंदु IV से, वृत्त शंकु का आधार है; आकार k का उपयोग करके एक कॉर्ड A 1 0 A 0 बनाएं और इस कॉर्ड में एक अनुभाग संलग्न करें।
तृतीय, ए. एक एक्सोनोमेट्रिक प्रक्षेपण (आइसोमेट्री) का निर्माण करने के लिए, पहले शंकु के आधार का एक एक्सोनोमेट्रिक प्रक्षेपण बनाएं, उस पर आकार k का उपयोग करके एक जीवा A 1 1 A 1 खींचें, और बिंदुओं के द्वितीयक प्रक्षेपण को चिह्नित करें बी" 1, सी" 1, डी" 1, सी" 1 1, बी" 1 1आयाम x 1 , x 2 , x 3 और y 1 , y 2 का उपयोग करना। इन बिंदुओं से खींची गई ऊर्ध्वाधर रेखाओं पर, ऊँचाई z 1, z 2 और z 3 को आलेखित किया जाता है, और परवलय बिंदुओं के एक्सोनोमेट्रिक अनुमान प्राप्त किए जाते हैं। फिर बिंदुओं को श्रृंखला में जोड़ें ए" 1, बी", सी 1", डी", ओ", बी 1"और ए 1 1 "चिकना वक्र और एक परवलय का एक्सोनोमेट्रिक प्रक्षेपण प्राप्त करें।
तृतीय. बी। फिर एक समोच्च रेखा खींची जाती है और दृश्यमान और अदृश्य तत्वों को रेखांकित किया जाता है।

प्रमेय (शंकु के अनुभाग के बारे में)। यदि कोई समतल किसी शंकु को काटता है और उसके आधार के समतल के समानांतर है, तो ऐसे समतल द्वारा शंकु का खंड शंकु के आधार के समान होता है। उनका समानता गुणांक शंकु के शीर्ष से खंड तल तक की दूरी और शंकु की ऊंचाई के अनुपात के बराबर है।

याद रखें कि एक आकृति F एक गुणांक के साथ एक आकृति F के समान है यदि उनके बिंदुओं की तुलना इस तरह से करना संभव है कि आकृति F के किसी भी बिंदु X, Y और आकृति F के संबंधित बिंदु XY के लिए (चित्र 8.5) ).

मान लीजिए P शंकु K का शीर्ष है, F इसका आधार है, F शंकु K का खंड आधार F के समतल a के समांतर है (चित्र 8.6)। आइए हम सिद्ध करें कि आकृतियाँ F और F समान हैं। ऐसा करने के लिए, हम प्रत्येक बिंदु की तुलना उस बिंदु से करते हैं जिस पर खंड РХ समतल a को काटता है।

आइए शंकु K की ऊंचाई RA खींचें और मान लें कि A वह बिंदु है जिस पर ऊंचाई RA विमान a को काटती है। रेखा खंड

RA समतल a द्वारा काटे गए शंकु K की ऊँचाई है।

आधार F के कोई दो बिंदु X, Y लें और मान लें कि X, Y, F के संगत बिंदु हैं। त्रिभुज PXY और PXY पर विचार करें। वे समान हैं क्योंकि खंड XY और XY समानांतर हैं (चूंकि विमान PXY समानांतर विमानों a और a को समानांतर रेखाओं के साथ काटता है)। इसीलिए

स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम में समस्याओं को हल करते समय, एक समतल द्वारा शंकु के दो प्रकार के खंडों पर विचार किया जाता है:

· शंकु की धुरी के लंबवत अनुभाग – मंडलियां;

· शंकु के शीर्ष से गुजरने वाले अनुभाग – समद्विबाहु त्रिभुज;

किसी शंकु के अक्ष से गुजरने वाले समतल द्वारा उसके खंड को कहा जाता है अक्षीय खंड .

समतल द्वारा शंक्वाकार सतह के अनुभागों के प्रकार:

·
शंक्वाकार सतह की धुरी के लंबवत अनुभाग - घेरा ;

· जनरेटरों में से एक के समानांतर अनुभाग - परवलय वे। ________________________________

· दो जनरेटरों के समानांतर एक खंड - एक हाइपरबोला, अर्थात किसी समतल पर बिंदुओं का एक समूह, जिससे समतल पर दिए गए दो बिंदुओं तक की दूरी के अंतर का मापांक एक स्थिर मान होता है।

· अनुभाग लंबवत नहीं है और शंक्वाकार सतह की धुरी के समानांतर नहीं है - अंडाकार.

· दो जनरेटरों से होकर गुजरने वाला अनुभाग - प्रतिच्छेदी रेखाओं का युग्म;

आइए हम दो कथनों को सिद्ध करें।

कथन 2.शंकु के दो जेनरेटर के समानांतर शंक्वाकार सतह का एक खंड एक हाइपरबोला है।

मान लीजिए शंकु के दो जनरेटरों के समानांतर समतल α, शंकु की सतह को एक निश्चित रेखा के अनुदिश काटता है एल. आइए हम सिद्ध करें कि यह रेखा एक अतिपरवलय है।

दो समान गेंदों पर विचार करें जो शंकु की पार्श्व सतह और खंड तल को छूती हैं। चलो अंक एफ 1 और एफ 2 - अनुभाग तल के साथ संपर्क के बिंदु। एक मनमाना बिंदु के माध्यम से एमपंक्तियां एलआइए एक जेनरेट्रिक्स बनाएं टी. चलो खंड की लंबाई ए.ए.शंकु के जनरेटर के लंबवत, गेंदों के व्यास वाले विमानों के बीच संलग्न इस जनरेटर का 1, 2 के बराबर है ए. फिर, स्पर्शरेखा के गुण से, एम.एफ. 1 =एम.ए. 1 , एम.एफ. 2 = एम.ए. 2 इसलिए | एम.एफ. 1 –एम.एफ. 2 |=|एम.ए. 1 –एम.ए. 2 =2ए|, यानी | एम.एफ. 1 –एम.एफ. 2 | = कॉन्स्ट, जिसका अर्थ है रेखा एल– दीर्घवृत्त.

कथन 3.शंक्वाकार सतह का एक भाग जो न तो लंबवत है और न ही शंक्वाकार सतह के अक्ष के समानांतर है - अंडाकार.

एक चित्र बनाओ और इसे स्वयं सिद्ध करो।

2.4. छिन्नक

छोटा शंकुशंकु के आधार और शंकु की धुरी के लंबवत छेदक तल के बीच स्थित भाग को कहा जाता है। इस शंकु का आधार तथा अनुप्रस्थ काट में प्राप्त वृत्त कहलाता है कारणछोटा शंकु। ऊंचाईएक कटा हुआ शंकु उसके आधारों के केंद्रों को जोड़ने वाला एक खंड है; पार्श्व सतह- काटे गए शंकु के आधारों के बीच स्थित शंक्वाकार सतह का भाग। एक काटे गए शंकु के आधारों के बीच स्थित शंक्वाकार सतह के जेनरेटर के खंडों को इसका कहा जाता है गठन.

एक आयताकार समलम्ब चतुर्भुज को आधारों के लंबवत् उसकी भुजा के चारों ओर घुमाकर एक छोटा शंकु प्राप्त किया जा सकता है।

प्रमेय(एक काटे गए शंकु के पार्श्व सतह क्षेत्र पर). काटे गए शंकु की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल आधारों की परिधि के आधे योग और जेनरेट्रिक्स की लंबाई के उत्पाद के बराबर है: , कहाँ आरऔर आर- आधारों की त्रिज्या, एल- जेनरेटर की लंबाई.

प्रमेय(एक काटे गए शंकु के आयतन के बारे में). एक काटे गए शंकु का आयतन जिसकी ऊँचाई है एच, और आधारों की त्रिज्याएँ बराबर हैं आरऔर आर, सूत्र द्वारा गणना की गई
.

गोला और गेंद

प्रमेय (एक गोले और एक समतल की सापेक्ष स्थिति पर). होने देना डी- केंद्र से दूरी हेगोले की त्रिज्या आरα विमान के लिए. तब:

1) यदि डी < आर, तो समतल α द्वारा गोले का खंड केंद्र वाला एक वृत्त है हे 1 त्रिज्या , कहाँ हे 1-बिंदु प्रक्षेपण हेसमतल α के लिए;

2) यदि डी = आर, तो गोले और तल में केवल एक उभयनिष्ठ बिंदु है;

3) यदि डी > आर, तो गोले और समतल में उभयनिष्ठ बिंदु नहीं हैं।

1) चलो डी < आर, समतल a गोले W को प्रतिच्छेद करता है( हे, आर) किसी पंक्ति के साथ एलआइए बात को स्पष्ट करें एम- रेखा का मनमाना बिंदु एल, फिर त्रिभुज में ओ.ओ. 1 एम:

Ð ओ.ओ. 1 एम=90° ( ओ.ओ. 1 ^एम.ओ. 1, क्योंकि ओ.ओ. 1 ^ए और एम.ओ. 1 Ìa), पैर एम.ओ. 1 = . इसका मतलब है कि रेखा के सभी बिंदु एलबिंदु से समान दूरी पर हे 1, इसलिए, समतल a द्वारा गोले का खंड एक वृत्त है जिसका केंद्र बिंदु पर है हे 1 और त्रिज्या .

2) चलो डी = आर. बिंदु से दूरी हेसमतल करने के लिए ए बिंदु से दूरी से कम है हे हे 1 का अर्थ है बिंदु हे 1 समतल a का एकमात्र बिंदु है जो गोले से संबंधित है।

3) चलो डी > आर. बिंदु से दूरी हेसमतल a के किसी भी बिंदु पर, बिंदु से भिन्न हे 1 अधिक डी. ए डी > आर, जिसका अर्थ है कि गोले और समतल में उभयनिष्ठ बिंदु नहीं हैं।

परिणाम।एक गोले का एक समतल भाग एक वृत्त होता है।

गोले (गेंद) के केंद्र से गुजरने वाले तल को कहा जाता है केंद्र तल, और इस विमान द्वारा अनुभाग है बड़ा वृत्त (दीर्घ वृत्ताकार). केंद्र तल के लंबवत व्यास के सिरे कहलाते हैं गोले के ध्रुव.

एक गोले (गेंद) का स्पर्शरेखा तलएक ऐसा तल है जिसमें गोले (गेंद) के साथ केवल एक उभयनिष्ठ बिंदु होता है। यह कहा जाता है संपर्क का बिंदु. किसी गोले (गेंद) के स्पर्शरेखा तल में स्थित तथा संपर्क बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा कहलाती है स्पर्श रेखा गोले (गेंद) के लिए.

प्रमेय(स्पर्शरेखा समतल चिह्न)

प्रमेय(स्पर्शरेखा तल की संपत्ति के बारे में)

गोलाकार (गेंद) खंड गोले (गेंद) का वह भाग जिसे समतल द्वारा काटा जाता है। वह वृत्त (वृत्त) जिसके अनुदिश समतल गोले (गेंद) को काटता है, कहलाता है गोलाकार (गेंद) खंडों का आधार, जिसमें समतल गोले को विभाजित करता है। गोलाकार की ऊंचाई (गेंद)खंड इस आधार और गोले के बीच स्थित खंड के आधार के लंबवत व्यास के एक खंड की लंबाई है। (छवि पर ए एफ।और बी.एफ.- संबंधित गोलाकार (गेंद) खंडों की ऊंचाई)।

गोलाकार बेल्ट (गोलाकार परत ) दो समानांतर काटने वाले विमानों के बीच स्थित एक गोले (गेंद) का हिस्सा है। गोलाकार बेल्ट के आधार (गोलाकार परत)वृत्त (वृत्त) कहलाते हैं जो इन तलों द्वारा किसी गोले (गेंद) के खंड में प्राप्त होते हैं। गोलाकार बेल्ट की ऊंचाई (गोलाकार परत)विमानों के बीच की दूरी कहलाती है। (छवि पर एफ.ई.- गोलाकार बेल्ट की ऊंचाई (गोलाकार परत)।)

बॉल सेक्टर एक ज्यामितीय निकाय है जो गोलाकार क्षेत्र को सीमित करने वाली त्रिज्याओं में से एक वाली सीधी रेखा के चारों ओर 90° से कम कोण वाले एक गोलाकार क्षेत्र को घुमाकर प्राप्त किया जाता है। गोलाकार क्षेत्र में एक गोलाकार खंड और एक शंकु होता है। बॉल सेक्टर की ऊंचाई संगत गोलाकार खंड की ऊँचाई कहलाती है। (छवि पर अब-गोलाकार क्षेत्र की ऊंचाई)।

एक गोलाकार खंड का क्षेत्रफल , कहाँ आर– गोले की त्रिज्या, एच- खंड ऊंचाई.

गोलाकार पेटी का क्षेत्रफल , कहाँ आर– गोले की त्रिज्या, एच- कमर ऊँचाई।

एक गोले का क्षेत्रफल , कहाँ आर– गोले की त्रिज्या.

गोलाकार क्षेत्र का आयतन , कहाँ आर– गेंद की त्रिज्या, एच- सेक्टर की ऊंचाई.

गेंद खंड की मात्रा
, कहाँ आर– गेंद की त्रिज्या, एच- खंड ऊंचाई.

गोला आयतन , कहाँ आर– गेंद की त्रिज्या.