वर्ष के अंत में, यह पता चला कि तीन धारणाओं में से केवल एक ही सत्य थी। वर्ष के अंत में किन प्रभागों ने लाभ कमाया?

समाधान। आइए हम समस्या की स्थितियों से मान्यताओं को तार्किक कथनों के रूप में लिखें: "डिवीजन बी द्वारा लाभ प्राप्त करना प्राप्त करने के लिए एक आवश्यक शर्त नहीं है

प्रभाग ए द्वारा लाभ ":एफ 1 (ए, बी, सी) = ए → बी

"कम से कम एक डिवीजन बी और सी से लाभ प्राप्त करना डिवीजन ए के लिए लाभ कमाने के लिए पर्याप्त नहीं है": एफ 2 (ए, बी, सी) = (बी + सी) → ए

"डिवीजन ए और बी एक ही समय में लाभ नहीं कमाएंगे": एफ 3 (ए, बी, सी) = ए बी

स्थिति से ज्ञात होता है कि तीन धारणाओं में से केवल एक ही सत्य है। इसका मतलब यह है कि हमें यह पता लगाना होगा कि निम्नलिखित तीन तार्किक अभिव्यक्तियों में से कौन सा समान रूप से गलत नहीं है:

1) एफ 1एफ 2एफ 3

2) एफ 1एफ 2एफ 3

3) एफ 1एफ 2एफ 3

1) (ए→ बी) ((बी+ सी) → ए) (ए↔ बी) = ए बी(बी सी+ ए) (ए बी+ ए बी) = 0

2) (ए→ बी) ((बी+ सी) → ए) (ए↔ बी) = (ए+ बी) (ए बी+ ए सी) (ए बी+ ए बी) = ए बी सी

3) (ए→ बी) ((बी+ सी) → ए) (ए बी) = (ए+ बी) (बी सी+ ए) (ए बी+ ए बी) = 0

परिणामस्वरूप, वर्ष के अंत में, दूसरी धारणा सत्य निकली, और पहली तथा तीसरी झूठी निकलीं।

									ए=0
	एफ1 एफ2 एफ3 = ए बी सी= 1
									यदि और केवल यदि B = 0.
									सी=1

इसलिए, डिवीजन सी को लाभ मिलेगा, लेकिन डिवीजन ए और बी को लाभ नहीं मिलेगा।

तर्क समीकरणों को हल करना

राज्य केंद्रीकृत परीक्षण के ग्रंथों में एक कार्य (ए8) है, जो तार्किक समीकरण की जड़ खोजने के लिए कहता है। आइए एक उदाहरण का उपयोग करके ऐसी समस्याओं को हल करने के तरीकों पर गौर करें।

तार्किक समीकरण का मूल ज्ञात कीजिए: (ए + बी)(एक्स एबी) = बी + एक्स → ए।

पहला समाधान सत्य तालिका का निर्माण करना है। आइए समीकरण के दाएं और बाएं पक्षों के लिए सत्य तालिकाएं बनाएं और देखें कि इन तालिकाओं के अंतिम कॉलम में मान किस X पर मेल खाते हैं।

एफ1 (ए, बी, एक्स) = (ए+ बी)(एक्स एबी)

					ए+बी	(ए+बी)(एक्स एबी)	एफ 1 (ए, बी, एक्स)

F2 (ए, बी, एक्स) = बी+ एक्स→ ए

			एक्स → ए							एफ 2 (ए, बी, एक्स)
					एक्स → ए			एक्स → ए

आइए परिणामी सत्य तालिकाओं की तुलना करें और उन पंक्तियों का चयन करें जिनमें एफ 1 (ए, बी, एक्स) और एफ 2 (ए, बी, एक्स) के मान मेल खाते हैं।

			एफ 1 (ए, बी, एक्स)	एफ 2 (ए, बी, एक्स)

आइए केवल तर्क स्तंभों को छोड़कर, केवल चयनित पंक्तियों को फिर से लिखें। आइए वेरिएबल X को A और B के फ़ंक्शन के रूप में देखें।

जाहिर है, एक्स = बी → ए.

दूसरा समाधान समीकरण में समान चिह्न को समतुल्य चिह्न से बदलना है, और फिर परिणामी तार्किक समीकरण को सरल बनाना है।

आगे के काम को सुविधाजनक बनाने के लिए, आइए पहले तार्किक समीकरण के दाएं और बाएं पक्षों को सरल बनाएं और उनके निषेधन खोजें:

एफ1 = (ए+ बी)(एक्स एबी) = ए+ बी+ (एक्स↔ एबी) = ए बी+ एक्स ए बी+ एक्स ए+ एक्स बी

एफ1 = (ए+ बी)(एक्स एबी) = (ए+ बी)(एक्स ए+ एक्स बी+ एक्स ए बी) = एक्स ए बी+ एक्स ए बी+ एक्स ए बी

F2 = B+ X→ A= B(X→ A) = B(X+ A) = X B+ A B F2 = B+ X→ A= B+ X+ A= B+ X A

आइए अपने तार्किक समीकरण में समान चिह्न को समतुल्य चिह्न से बदलें:

F1 ↔ F2 = F1 F2 + F1 F2 = (A B+ X A B+ X A+ X B) (X B+ A B) +

+ (एक्स ए बी+ एक्स ए बी+ एक्स ए बी) (बी+ एक्स ए) =

= (एक्स ए बी+ एक्स बी+ एक्स ए बी) + (एक्स ए बी+ एक्स ए बी) =

आइए कारक X और X को कोष्ठक से बाहर निकालते हुए, इस अभिव्यक्ति के तार्किक शब्दों को पुनर्व्यवस्थित करें।

एक्स(ए बी) + एक्स(बी+ एबी) = एक्स(ए बी) + एक्स(बी+ ए) =

आइए, फिर T = A B को निरूपित करें

एक्स टी+ एक्स टी= एक्स↔ टी.

इसलिए, तार्किक समीकरण के समाधान के लिए: X = A B = B + A = B → A.

कंप्यूटर तर्क तत्व. कार्यात्मक आरेखों का निर्माण

कंप्यूटर प्रौद्योगिकी के विकास के साथ, गणितीय तर्क कंप्यूटर प्रौद्योगिकी के डिजाइन और प्रोग्रामिंग के मुद्दों से निकटता से जुड़ा हुआ है। तर्क के बीजगणित को प्रारंभ में विकास में व्यापक अनुप्रयोग मिला रिले संपर्कयोजनाओं पहला मौलिक शोध जिसने कंप्यूटर डिजाइन में शामिल इंजीनियरों का ध्यान बूलियन बीजगणित का उपयोग करके विद्युत सर्किट का विश्लेषण करने की संभावना की ओर आकर्षित किया था, दिसंबर 1938 में अमेरिकी क्लाउड शैनन द्वारा प्रकाशित किया गया था, "सीढ़ी सर्किट का प्रतीकात्मक विश्लेषण।" इस लेख के बाद, बूलियन बीजगणित के उपयोग के बिना कंप्यूटर डिज़ाइन नहीं किया जा सका।

तर्क तत्वएक सर्किट है जो विच्छेदन, संयोजन और व्युत्क्रम के तार्किक संचालन को कार्यान्वित करता है। आइए विद्युत रिले-संपर्क सर्किट के माध्यम से तार्किक तत्वों के कार्यान्वयन पर विचार करें, जो आपको स्कूल भौतिकी पाठ्यक्रम से परिचित है।

संपर्कों का क्रमिक कनेक्शन

संपर्कों का समानांतर कनेक्शन

आइए संपर्कों की सभी संभावित स्थितियों पर सर्किट की स्थिति की निर्भरता की एक तालिका संकलित करें। आइए निम्नलिखित संकेतन प्रस्तुत करें: 1 - संपर्क बंद है, सर्किट में करंट है; 0 - संपर्क खुला है, सर्किट में कोई करंट नहीं है।

		सर्किट की स्थिति	समानांतर के साथ सर्किट की स्थिति
		सीरियल कनेक्शन	कनेक्शन

जैसा कि आप देख सकते हैं, सीरियल कनेक्शन वाला एक सर्किट संयोजन के तार्किक संचालन से मेल खाता है, क्योंकि सर्किट में करंट तभी दिखाई देता है जब संपर्क ए और बी एक साथ बंद होते हैं। समानांतर कनेक्शन वाला एक सर्किट विच्छेदन के तार्किक संचालन से मेल खाता है, क्योंकि सर्किट में केवल उस समय कोई करंट नहीं होता है जब दोनों संपर्क खुले होते हैं।

व्युत्क्रम का तार्किक संचालन एक विद्युत चुम्बकीय रिले के संपर्क सर्किट के माध्यम से कार्यान्वित किया जाता है, जिसके सिद्धांत का अध्ययन स्कूल भौतिकी पाठ्यक्रम में किया जाता है। संपर्क x तब खुला रहता है जब x बंद हो और इसके विपरीत।

कंप्यूटर के तार्किक सर्किट के निर्माण के लिए रिले संपर्क तत्वों का उपयोग कम विश्वसनीयता, बड़े आयाम, उच्च बिजली की खपत और कम प्रदर्शन के कारण उचित नहीं है। इलेक्ट्रॉनिक उपकरणों (वैक्यूम और सेमीकंडक्टर) के आगमन ने 1 मिलियन स्विचिंग प्रति सेकंड और उससे अधिक की गति के साथ तर्क तत्वों के निर्माण की संभावना पैदा की है। सेमीकंडक्टर लॉजिक तत्व विद्युत चुम्बकीय रिले के समान स्विच मोड में काम करते हैं। संपर्क सर्किट के लिए प्रस्तुत संपूर्ण सिद्धांत अर्धचालक तत्वों में स्थानांतरित किया जाता है। अर्धचालकों पर तर्क तत्वों की विशेषता संपर्कों की स्थिति से नहीं, बल्कि इनपुट और आउटपुट पर संकेतों की उपस्थिति से होती है।

आइए उन तार्किक तत्वों पर विचार करें जो बुनियादी तार्किक संचालन को लागू करते हैं:

इन्वर्टर - निषेध या व्युत्क्रमण की क्रिया को क्रियान्वित करता है। यू

इन्वर्टर में एक इनपुट और एक आउटपुट होता है। आउटपुट सिग्नल प्रकट होता है

जब इनपुट पर कोई न हो, और इसके विपरीत।

संयोजक -

X1 X2 ... Xn

संयोजन संक्रिया को कार्यान्वित करता है।

संयोजक के यहाँ

एक निकास और कम से कम दो प्रवेश द्वार। सिग्नल चालू

आउटपुट में यदि और केवल यदि दिखाई देता है

सभी इनपुट संकेतित हैं।

X2 + ... Xn

डिसजंक्टर - डिसजंक्शन ऑपरेशन को कार्यान्वित करता है। यू

वियोजक के पास एक निकास और कम से कम दो हैं

आउटपुट सिग्नल यदि और केवल यदि प्रकट नहीं होता है

जब सभी इनपुटों को कोई सिग्नल नहीं दिया जाता है।

	निर्माण	कार्यात्मक
एफ(एक्स, वाई, जेड) = एक्स(वाई+ जेड)
			एक्स+जेड

फ़ंक्शन के अनुरूप आरेख:

&एफ(एक्स, वाई, जेड)

संयोजक सामान्य का उपयोग करके समस्याओं का समाधान करना

और विघटनकारी-सामान्यफार्म

में तर्क समस्या पुस्तकों में अक्सर मानक समस्याएं होती हैं जहां आपको एक फ़ंक्शन लिखने की आवश्यकता होती है जो लागू होता हैसीढ़ी आरेख, इसे सरल बनाएं और इस फ़ंक्शन के लिए एक सत्य तालिका बनाएं। विपरीत समस्या का समाधान कैसे करें? एक मनमानी सत्य तालिका को देखते हुए, आपको एक कार्यात्मक या रिले आरेख बनाने की आवश्यकता है। हम आज इस मुद्दे से निपटेंगे।

किसी भी तार्किक बीजगणित फ़ंक्शन को तीन संक्रियाओं के संयोजन द्वारा दर्शाया जा सकता है: संयोजन, वियोजन और व्युत्क्रम। आइए जानें कि यह कैसे किया जाता है। ऐसा करने के लिए, आइए कुछ परिभाषाएँ लिखें।

मिंटर्म एक फ़ंक्शन है जो एक निश्चित संख्या में चर या उनके निषेधों के संयोजन से बनता है। मिनटरम सभी संभावित सेटों में से केवल एक के लिए मान 1 लेता है

तर्क, और अन्य सभी के लिए मान 0 है। उदाहरण: x 1 x 2 x 3 x 4।

मैक्सटर्म एक निश्चित संख्या में चरों या उनके निषेधों के विच्छेदन से बनने वाला एक फ़ंक्शन है। मैक्सटर्म संभावित सेटों में से एक में मान 0 लेता है, और अन्य सभी में 1।

उदाहरण: x 1 + x 2 + x 3.

में कार्य करें विच्छेदात्मक सामान्य रूप(डीएनएफ) न्यूनतम शब्दों का तार्किक योग है।

उदाहरण: x 1x 2+ x 1x 2+ x 1x 2x 3.

संयोजक सामान्य रूप(सीएनएफ) प्रारंभिक विच्छेदन (मैक्सटर्म्स) का एक तार्किक उत्पाद है।

उदाहरण: (x 1+ x 2+ x 3) (x 1+ x 2) .

उत्तम विभक्ति सामान्य रूप DNF कहा जाता है, जिसके प्रत्येक न्यूनतम में सभी चर या उनके निषेध मौजूद होते हैं।

उदाहरण: x 1x 2x 3+ x 1x 2x 3+ x 1x 2x 3

उत्तम संयोजक सामान्य रूप सीएनएफ कहा जाता है, जिसके प्रत्येक अधिकतम पद में सभी चर या उनके निषेध मौजूद होते हैं।

उदाहरण: (x 1+ x 2+ x 3) (x 1+ x 2+ x 3)

किसी तालिका से तार्किक फ़ंक्शन लिखना

किसी भी तार्किक फ़ंक्शन को SDNF या SCNF के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के तौर पर, तालिका में प्रस्तुत फ़ंक्शन f पर विचार करें।

			f(x1 , x2 , x3 )

फ़ंक्शन G0, G1, G4, G5, G7 लघु शब्द हैं (परिभाषा देखें)। इनमें से प्रत्येक फलन तीन चरों या उनके व्युत्क्रमों का गुणनफल है और केवल एक स्थिति में मान 1 लेता है। यह देखा जा सकता है कि फ़ंक्शन f के मान में 1 प्राप्त करने के लिए, एक मिनट की आवश्यकता होती है। नतीजतन, इस फ़ंक्शन के SDNF को बनाने वाले न्यूनतम शब्दों की संख्या फ़ंक्शन मान में इकाइयों की संख्या के बराबर है: f= G0+G1+G4+G5+G7। इस प्रकार, SDNF का रूप है:

f (x 1, x 2, x 3) = x 1x 2x 3+ x 1x 2x 3+ x 1x 2x 3+ x 1x 2x 3+ x 1x 2x 3.

इसी तरह, आप SKNF का निर्माण कर सकते हैं। फ़ंक्शन मानों में कारकों की संख्या शून्य की संख्या के बराबर है:

f (x 1, x 2, x 3) = (x 1+ x 2+ x 3) (x 1+ x 2+ x 3) (x 1+ x 2+ x 3) ।

इस प्रकार, तालिका के रूप में दिए गए किसी भी तार्किक फ़ंक्शन को सूत्र के रूप में लिखा जा सकता है।

सत्य तालिका का उपयोग करके एसडीएनएफ के निर्माण के लिए एल्गोरिदम

किसी फ़ंक्शन की सत्य तालिका दी गई है। एसडीएनएफ बनाने के लिए, आपको निम्नलिखित चरणों का क्रम पूरा करना होगा:

1. उन सभी तालिका पंक्तियों का चयन करें जिनमें फ़ंक्शन मान 1 लेता है।

2. ऐसी प्रत्येक पंक्ति के लिए, सभी तर्कों या उनके व्युत्क्रमों (मिन्टरम) का एक संयोजन निर्दिष्ट करें। इस मामले में, मान 0 लेने वाले तर्क को निषेध के साथ मिंटर्म में शामिल किया गया है, और मान 1 को निषेध के बिना शामिल किया गया है।

3. अंत में, हम सभी प्राप्त मिनटर्म्स का विच्छेदन बनाते हैं। मिनिटर्म्स की संख्या तार्किक फ़ंक्शन की इकाइयों की संख्या से मेल खाना चाहिए।

सत्य तालिका का उपयोग करके एससीएनएफ के निर्माण के लिए एल्गोरिदम

किसी फ़ंक्शन की सत्य तालिका दी गई है। एसकेएनएफ बनाने के लिए, आपको निम्नलिखित चरणों का क्रम पूरा करना होगा:

1. तालिका की सभी पंक्तियों का चयन करें जिसमें फ़ंक्शन मान 0 लेता है।

2. ऐसी प्रत्येक पंक्ति के लिए, सभी तर्कों या उनके व्युत्क्रमों (मैक्सटर्म) का विच्छेदन निर्दिष्ट करें। इस मामले में, मान 1 लेने वाले तर्क को निषेध के साथ अधिकतम में शामिल किया गया है, और मान 1 को निषेध के बिना शामिल किया गया है।

3. अंत में, हम सभी प्राप्त अधिकतमपदों का संयोजन बनाते हैं। अधिकतम पदों की संख्या तार्किक फ़ंक्शन के शून्यों की संख्या से मेल खाना चाहिए।

यदि हम दो रूपों (एसडीएनएफ या एसकेएनएफ) से उस एक को प्राथमिकता देने के लिए सहमत हैं जिसमें कम अक्षर हैं, तो एसडीएनएफ बेहतर है यदि सत्य तालिका फ़ंक्शन के मूल्यों के बीच कम हैं, एसकेएनएफ - यदि कम शून्य हैं।

उदाहरण। तीन चरों के तार्किक फलन की सत्य तालिका दी गई है। एक तार्किक सूत्र का निर्माण करें जो इस फ़ंक्शन को लागू करता है।

			एफ(ए, बी, सी)

आइए इस सत्य तालिका में उन पंक्तियों का चयन करें जिनमें फ़ंक्शन का मान 0 है।

एफ(ए, बी, सी) = (ए+ बी+ सी) (ए+ बी+ सी)

आइए एक सत्य तालिका बनाकर व्युत्पन्न फ़ंक्शन की जाँच करें।

प्रारंभिक और अंतिम सत्य तालिकाओं की तुलना करके, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि तार्किक फ़ंक्शन का निर्माण सही ढंग से किया गया है।

समस्या को सुलझाना

1. तीन शिक्षक ओलंपियाड के लिए समस्याओं का चयन करते हैं। चुनने के लिए कई कार्य हैं। प्रत्येक कार्य के लिए, प्रत्येक शिक्षक अपनी राय व्यक्त करता है: एक आसान (0) या कठिन (1) कार्य। किसी कार्य को ओलंपियाड कार्य में शामिल किया जाता है यदि कम से कम दो शिक्षक इसे कठिन मानते हैं, लेकिन यदि तीनों शिक्षक इसे कठिन मानते हैं, तो ऐसे कार्य को ओलंपियाड कार्य में बहुत कठिन मानकर शामिल नहीं किया जाता है। एक डिवाइस का तार्किक आरेख बनाएं जो ओलंपियाड कार्य में शामिल होने पर 1 आउटपुट देगा, और यदि यह शामिल नहीं है तो 0 आउटपुट देगा।

आइए वांछित फ़ंक्शन के लिए एक सत्य तालिका बनाएं। हमारे पास तीन इनपुट चर (तीन शिक्षक) हैं। इसलिए, आवश्यक फ़ंक्शन तीन चरों का एक फ़ंक्शन होगा।

समस्या की स्थिति का विश्लेषण करते हुए, हमें निम्नलिखित सत्य तालिका प्राप्त होती है:

हम एसडीएनएफ का निर्माण कर रहे हैं। एफ(ए, बी, सी) = एबीसी+ एबीसी+ एबीसी

अब हम इस फ़ंक्शन का एक तार्किक आरेख बनाते हैं।

बी&1एफ(ए,बी,सी)

2. कंप्यूटर विज्ञान के बुनियादी पाठ्यक्रम में सिटी ओलंपियाड, 2007।तीन मंजिला घर के प्रवेश द्वार के लिए एक विद्युत सर्किट आरेख बनाएं ताकि किसी भी मंजिल पर एक स्विच पूरे घर में रोशनी को चालू या बंद कर सके।

तो, हमारे पास तीन स्विच हैं जिनका उपयोग हमें लाइट को चालू और बंद करने के लिए करना चाहिए। प्रत्येक स्विच की दो अवस्थाएँ होती हैं: ऊपर (0) और नीचे (1)। आइए मान लें कि यदि सभी तीन स्विच स्थिति 0 पर हैं, तो प्रवेश द्वार की लाइटें बंद हैं। फिर, जब आप तीनों में से किसी भी स्विच को स्थिति 1 पर ले जाते हैं, तो प्रवेश द्वार में रोशनी जलनी चाहिए। जाहिर है, जब आप किसी अन्य स्विच को स्थिति 1 पर ले जाएंगे, तो प्रवेश द्वार की रोशनी बंद हो जाएगी। यदि तीसरे स्विच को स्थिति 1 पर स्विच किया जाता है, तो प्रवेश द्वार में प्रकाश चालू हो जाएगा। हम एक सत्य तालिका बनाते हैं।

फिर, F(A, B, C) = ABC+ ABC+ ABC+ ABC.

	3. हालत बदलें			तार्किक फ़ंक्शन मान			एफ(ए, बी, सी) = सी→		ए+बी
	एक ही समय में तर्क बी और सी बदलना बराबर है:
		ए → (बी सी)						(बी सी) → ए
					ए(बी सी)
	4) (बी सी) → ए				ए → (बी सी)

टिप्पणी। इस समस्या को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, निम्नलिखित तार्किक सूत्र याद रखें:

एक्स → वाई= एक्स+ वाई एक्स वाई= एक्स वाई+ एक्स वाई

एक्स ↔ वाई= एक्स वाई+ एक्स वाई

हमें तीन चर F 1 (A, B, C) = C → A + B = C + A B का एक तार्किक फलन दिया गया है।

आइए वेरिएबल बी और सी को एक साथ बदलें: एफ 2 (ए, बी, सी) = एफ 1 (ए, बी, सी) = सी + ए बी। आइए इन दो कार्यों के लिए सत्य तालिकाएँ बनाएँ:

आइए परिणामी तालिका का विश्लेषण करें। तालिका की आठ पंक्तियों में से केवल दो (दूसरी और तीसरी) में फ़ंक्शन अपना मान नहीं बदलता है। ध्यान दें कि इन पंक्तियों में, वेरिएबल ए अपने मान को उलट नहीं करता है, लेकिन वेरिएबल बी और सी करते हैं।

हम इन पंक्तियों का उपयोग करके SKNF फ़ंक्शन बनाते हैं:

F3 (ए, बी, सी) = (ए+ बी+ सी) (ए+ बी सी) = ए+ एबी+ एसी+ एबी+ बीसी+ एसी+ बी सी=।

ए+ (बी↔ सी) = ए+ बी सी= (बी सी) → ए

इसलिए, वांछित उत्तर 4 है।

4. तार्किक फ़ंक्शन का मान बदलने की शर्तएफ (ए, बी, सी) = सी + एबी जबकि एक साथ तर्क ए और बी बदलना बराबर है:

1) सी+ (ए बी)

सी+(ए बी)

कैब)

4) सी(ए बी)

सी → (ए बी)

एफ 1 (ए ,बी ,सी )=

सी+एबी

एफ 2 (ए ,बी ,सी )= एफ 1 (

सी )= ए

हम एक सत्य तालिका बनाते हैं।

आइए परिणामी तालिका का विश्लेषण करें। तालिका की आठ पंक्तियों में से केवल दो (पहली और सातवीं) में फ़ंक्शन अपना मान बदलता है। कृपया ध्यान दें कि इन पंक्तियों में, वेरिएबल C अपना मान नहीं बदलता है, लेकिन वेरिएबल A और B अपना मान बदलते हैं।

हम इन पंक्तियों का उपयोग करके SDNF फ़ंक्शंस बनाते हैं:

F3 (ए, बी, सी) = ए बी सी+ ए बी सी= सी(ए बी+ ए बी) = सी(ए↔ बी) = सी+ (ए बी)

इसलिए, वांछित उत्तर 2 है।

संदर्भ

1. शापिरो एस.आई. तार्किक और गेमिंग समस्याओं का समाधान(तार्किक और मनोवैज्ञानिक अध्ययन)। - एम.: रेडियो और संचार, 1984. - 152 पी.

2. शोलोमोव एल.ए. असतत तार्किक और कंप्यूटिंग उपकरणों के सिद्धांत के मूल सिद्धांत। - एम.: विज्ञान. चौ. ईडी। भौतिक - चटाई. लिट., 1980. - 400 पी.

3. पुखाल्स्की जी.आई., नोवोसेल्तसेवा टी.वाई.ए. एकीकृत सर्किट पर अलग-अलग उपकरणों का डिज़ाइन: हैंडबुक। - एम.: रेडियो और संचार, 1990।

इस सामग्री में एक प्रस्तुति है जो कंप्यूटर विज्ञान में एकीकृत राज्य परीक्षा के कार्य बी15 (नंबर 23, 2015) में तार्किक समीकरणों और तार्किक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के तरीके प्रस्तुत करती है। यह ज्ञात है कि यह कार्य एकीकृत राज्य परीक्षा कार्यों में सबसे कठिन है। विशेष कक्षाओं में "तर्क" विषय पर पाठ पढ़ाने के साथ-साथ एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी करते समय प्रस्तुति उपयोगी हो सकती है।

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कार्य बी15 का समाधान (तार्किक समीकरणों की प्रणाली) विष्णव्स्काया एम.पी., एमएओयू "जिमनैजियम नंबर 3" 18 नवंबर 2013, सेराटोव

कंप्यूटर विज्ञान में एकीकृत राज्य परीक्षा में टास्क बी15 सबसे कठिन में से एक है!!! निम्नलिखित कौशलों का परीक्षण किया जाता है: तार्किक चर वाले भावों को रूपांतरित करना; प्राकृतिक भाषा में तार्किक चर के मानों के सेट का वर्णन करें जिसके लिए तार्किक चर का दिया गया सेट सत्य है; दी गई शर्तों को पूरा करने वाले बाइनरी सेटों की संख्या गिनें। सबसे कठिन बात इसलिए है क्योंकि... इसे कैसे करें, इस पर कोई औपचारिक नियम नहीं हैं, इसके लिए अनुमान लगाना आवश्यक है।

आप इसके बिना क्या नहीं कर सकते!

आप इसके बिना क्या नहीं कर सकते!

प्रतीक संयोजन: A /\ B , A  B , AB , A &B, A और B वियोजन: A \ / B , A + B , A | बी, ए या बी निषेध:  ए, ए, नहीं ए तुल्यता: ए  बी, ए  बी, ए  बी अनन्य "या": ए  बी, ए एक्स या बी

परिवर्तनीय प्रतिस्थापन विधि तार्किक चर x1, x2, ..., x9, x10 के मानों के कितने अलग-अलग सेट मौजूद हैं जो नीचे सूचीबद्ध सभी शर्तों को पूरा करते हैं: ((x1 ≡ x2) \/ (x3 ≡ x4)) /\ ​​(¬(x1 ≡ x2) \/ ¬(x3 ≡ x4)) = 1 ((x3 ≡ x4) \/ (x5 ≡ x6)) /\ ​​(¬(x3 ≡ x4) \/ ¬(x5 ≡ x6)) = 1 ((x5 ≡ x6 ) \/ (x7 ≡ x8)) /\ ​​​​(¬(x5 ≡ x7) \/ ¬(x7 ≡ x8)) = 1 ((x7 ≡ x8) \/ (x9 ≡ x10)) /\ ​​(¬(x7 ≡ x8) \/ ¬(x9 ≡ x10)) = 1 उत्तर के लिए सभी अलग-अलग सेटों x1, x2, …, x9, x10 को सूचीबद्ध करने की आवश्यकता नहीं है समानता की यह प्रणाली कायम है। उत्तर के रूप में, आपको ऐसे सेटों की संख्या बतानी होगी (डेमो संस्करण 2012)

समाधान चरण 1. चरों को बदलकर सरल बनाएं t1 = t2) =1 (t2 \/ t3) /\ (¬t2 \/ ¬ t3) =1 (t3 \/ t4) /\ (¬t3 \/ ¬ t4) =1 (t4 \/ t5) /\ ( ¬ t4 \/ ¬ t5) =1 किसी एक समीकरण पर विचार करें: (t1 \/ t2) /\ (¬t1 \/ ¬ t2) =1 जाहिर है, यह =1 केवल तभी है जब एक चर 0 है और दूसरा 1 है आइए संयोजन और विच्छेदन के माध्यम से XOR ऑपरेशन को व्यक्त करने के लिए सूत्र का उपयोग करें: (t1 \/ t2) /\ (¬t1 \/ ¬ t2) = t1  t2 = ¬(t1 ≡ t2) =1 ¬(t1 ≡ t2) =1 ¬( t2 ≡ t3) =1 ¬(t3 ≡ t4) =1 ¬(t4 ≡ t5) =1

चरण दो। सिस्टम विश्लेषण ¬(t1 ≡ t2) =1 ¬(t2 ≡ t3) =1 ¬(t3 ≡ t4) =1 ¬(t4 ≡ t5) =1 t1 t2 t3 t4 t5 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 Т ।को। tk = x2k-1 ≡ x2k (t1 = x1  x2 ,...), तो tk का प्रत्येक मान x2k-1 और x2k मानों के दो जोड़े से मेल खाता है, उदाहरण के लिए: tk =0 दो जोड़े से मेल खाता है - (0 ,1) और (1, 0), और tk =1 - जोड़े (0,0) और (1,1)।

चरण 3। समाधानों की संख्या गिनना. प्रत्येक t के 2 समाधान हैं, ts की संख्या 5 है। इस प्रकार। चर t के लिए 2 5 = 32 समाधान हैं। लेकिन प्रत्येक t के लिए समाधान x की एक जोड़ी होती है, अर्थात। मूल प्रणाली में 2*32 = 64 समाधान हैं। उत्तर: 64

समाधान के भाग को समाप्त करने की विधि तार्किक चर x1, x2, ..., x5, y1,y2,..., y5 के मानों के कितने अलग-अलग सेट मौजूद हैं जो नीचे सूचीबद्ध सभी शर्तों को पूरा करते हैं: (x1→ x2 )∧(x2→ x3)∧(x3→ x4 )∧(x4→ x5) =1; (y1→ y2)∧(y2→ y3)∧(y3→ y4) ∧(y4→ y5) =1; y5→ x5 =1. उत्तर में उन सभी अलग-अलग सेटों को सूचीबद्ध करने की आवश्यकता नहीं है x1, x2, ..., x5, y 1 , y2, ... , y5 जिनके लिए समानता की यह प्रणाली लागू होती है। उत्तर में ऐसे सेटों की संख्या अवश्य बताई जानी चाहिए।

समाधान। स्टेप 1। समीकरणों का अनुक्रमिक समाधान प्रत्येक निहितार्थ सत्य है. निहितार्थ केवल एक मामले में गलत है, जब 1  0, अन्य सभी मामलों में (0  0, 0  1, 1  1) ऑपरेशन रिटर्न 1. आइए इसे तालिका के रूप में लिखें:

स्टेप 1। समीकरणों का अनुक्रमिक समाधान टी.ओ. x1, x2, x3, x4, x5 के लिए समाधान के 6 सेट प्राप्त किए गए: (00000), (00001), (00011), (00111), (01111), (11111)। इसी तरह तर्क करते हुए, हम इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं कि y1, y2, y3, y4, y5 के लिए समाधानों का एक ही सेट है। क्योंकि ये समीकरण स्वतंत्र हैं, अर्थात उनके पास सामान्य चर नहीं हैं, तो समीकरणों की इस प्रणाली का समाधान (तीसरे समीकरण को ध्यान में रखे बिना) "एक्स" और "वाई" के 6 * 6 = 36 जोड़े होंगे। तीसरे समीकरण पर विचार करें: y5→ x5 =1 जोड़े का समाधान है: 0 0 0 1 1 1 जोड़ा समाधान नहीं है: 1 0

आइए प्राप्त समाधानों की तुलना करें। जहां y5 =1, x5=0 उपयुक्त नहीं है। ऐसे 5 जोड़े हैं। सिस्टम के समाधानों की संख्या: 36-5=31। उत्तर: 31 कॉम्बिनेटरिक्स की आवश्यकता थी!!!

गतिशील प्रोग्रामिंग विधि तार्किक समीकरण x 1 → x 2 → x 3 → x 4 → x 5 → x 6 = 1 के कितने भिन्न समाधान हैं, जहाँ x 1, x 2, …, x 6 तार्किक चर हैं? उत्तर में चर मानों के सभी अलग-अलग सेटों को सूचीबद्ध करने की आवश्यकता नहीं है जिनके लिए यह समानता रखती है। उत्तर के रूप में, आपको ऐसे सेटों की मात्राएँ बतानी होंगी।

समाधान चरण 1. स्थिति का विश्लेषण समीकरण में बाईं ओर निहितार्थ की संक्रियाएँ क्रमानुसार लिखी गई हैं, प्राथमिकता समान है। आइए फिर से लिखें: ((((एक्स 1 → एक्स 2) → एक्स 3) → एक्स 4) → एक्स 5) → एक्स 6 = 1 एनबी! प्रत्येक आगामी चर पिछले एक पर नहीं, बल्कि पिछले निहितार्थ के परिणाम पर निर्भर करता है!

चरण दो। एक पैटर्न का खुलासा आइए पहले निहितार्थ पर विचार करें, X 1 → X 2. सत्य तालिका: X 1 X 2 X 1 → हमें एक 0 और एक 1 मिला। केवल एक 0 और तीन 1 हैं, यह पहले ऑपरेशन का परिणाम है।

चरण दो। एक पैटर्न का खुलासा x 3 को पहले ऑपरेशन के परिणाम से जोड़ने पर, हमें मिलता है: F(x 1 ,x 2) x 3 F(x 1 ,x 2)  x 3 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 दो 0 से - दो 1, प्रत्येक 1 से (3 होते हैं) एक 0 और एक 1 (3+3)

चरण 3. सूत्र की व्युत्पत्ति टी.ओ. आप i चर वाले समीकरण के लिए शून्य N i की संख्या और एक E i की संख्या की गणना के लिए सूत्र बना सकते हैं: ,

चरण 4. तालिका को भरना आइए उपरोक्त सूत्रों का उपयोग करके शून्य और एक की संख्या की गणना करते हुए, i = 6 के लिए तालिका को बाएं से दाएं भरें; तालिका दिखाती है कि अगला कॉलम पिछले कॉलम से कैसे बनाया गया है: चरों की संख्या 1 2 3 4 5 6 शून्य की संख्या N i 1 1 3 5 11 21 इकाइयों की संख्या E i 1 2*1+1= 3 2*1 +3=5 11 21 43 उत्तर: 43

तार्किक अभिव्यक्तियों के सरलीकरण का उपयोग करने वाली विधि समीकरण के कितने अलग-अलग समाधान हैं ((J → K) → (M  N  L))  ((M  N  L) → (¬ J  K))  (M → जे) = 1 जहां जे, के, एल, एम, एन तार्किक चर हैं? उत्तर में J, K, L, M और N के मानों के सभी विभिन्न सेटों को सूचीबद्ध करने की आवश्यकता नहीं है जिनके लिए यह समानता मान्य है। उत्तर के रूप में, आपको ऐसे सेटों की संख्या बतानी होगी।

समाधान ध्यान दें कि J → K = ¬ J  K आइए चरों में परिवर्तन का परिचय दें: J → K=A, M  N  L =B आइए परिवर्तन को ध्यान में रखते हुए समीकरण को फिर से लिखें: (A → B)  (B → ए)  (एम → जे)=1 4. (ए ​​ बी)  (एम → जे)= 1 5. जाहिर है, ए और बी के समान मूल्यों के लिए ए  बी 6. अंतिम निहितार्थ एम → पर विचार करें जे =1 यह संभव है यदि: एम= जे=0 एम=0, जे=1 एम=जे=1

समाधान क्योंकि A  B, तब जब M=J=0 हमें 1 + K=0 मिलता है। कोई समाधान नहीं. जब M=0, J=1 हमें 0 + K=0, K=0, और N और L कोई भी हो, 4 समाधान मिलते हैं: ¬ J  K = M  N  L K N L 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1

समाधान 10. जब M=J=1 हमें 0+K=1 *N * L, या K=N*L, 4 समाधान मिलते हैं: 11. कुल में 4+4=8 समाधान होते हैं उत्तर: 8 K N L 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1

जानकारी के स्रोत: ओ.बी. बोगोमोलोवा, डी.यू. उसेनकोव। बी15: नए कार्य और नए समाधान // सूचना विज्ञान, संख्या 6, 2012, पी। 35 – 39. के.यू. पोलाकोव। तार्किक समीकरण // सूचना विज्ञान, संख्या 14, 2011, पृ. 30-35. http://ege-go.ru/zadania/grb/b15/, [इलेक्ट्रॉनिक संसाधन]। http://kpolyakov.naroad.ru/school/ege.htm, [इलेक्ट्रॉनिक संसाधन]।

समीकरणों का उपयोग हमारे जीवन में व्यापक है। इनका उपयोग कई गणनाओं, संरचनाओं के निर्माण और यहां तक ​​कि खेलों में भी किया जाता है। प्राचीन काल में मनुष्य ने समीकरणों का प्रयोग किया और तब से इनका प्रयोग बढ़ता ही गया। गणित में, कुछ निश्चित समस्याएं हैं जो प्रस्तावात्मक तर्क से संबंधित हैं। इस प्रकार के समीकरण को हल करने के लिए, आपके पास एक निश्चित मात्रा में ज्ञान होना आवश्यक है: प्रस्तावात्मक तर्क के नियमों का ज्ञान, 1 या 2 चर के तार्किक कार्यों की सत्य तालिकाओं का ज्ञान, तार्किक अभिव्यक्तियों को परिवर्तित करने के तरीके। इसके अलावा, आपको तार्किक संचालन के निम्नलिखित गुणों को जानना होगा: संयोजन, विच्छेदन, व्युत्क्रम, निहितार्थ और तुल्यता।

\चर - \ का कोई भी तार्किक कार्य सत्य तालिका द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है।

आइए कई तार्किक समीकरण हल करें:

\[\rightharpoondown X1\vee X2=1 \]

\[\rightharpoondown X2\vee X3=1\]

\[\rightharpoondown X3\vee X4=1 \]

\[\rightharpoondown X9\vee X10=1\]

आइए समाधान को \[X1\] से शुरू करें और निर्धारित करें कि यह चर कौन से मान ले सकता है: 0 और 1. इसके बाद, हम उपरोक्त प्रत्येक मान पर विचार करेंगे और देखेंगे कि \[X2.\] क्या हो सकता है।

जैसा कि तालिका से देखा जा सकता है, हमारे तार्किक समीकरण के 11 समाधान हैं।

मैं तर्क समीकरण को ऑनलाइन कहां हल कर सकता हूं?

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मान लीजिए n चरों का एक तार्किक फलन है। तार्किक समीकरण इस प्रकार दिखता है:

स्थिरांक C का मान 1 या 0 है।

एक तार्किक समीकरण में 0 से लेकर विभिन्न समाधान हो सकते हैं। यदि C, 1 के बराबर है, तो समाधान सत्य तालिका से चर के वे सभी सेट हैं जिनके लिए फ़ंक्शन F मान सत्य (1) लेता है। शेष सेट शून्य के बराबर C वाले समीकरण के समाधान हैं। आप हमेशा केवल निम्न प्रकार के समीकरणों पर विचार कर सकते हैं:

दरअसल, समीकरण दिया जाए:

इस मामले में, हम समतुल्य समीकरण पर जा सकते हैं:

K तार्किक समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें:

किसी सिस्टम का समाधान चरों का एक सेट होता है जिस पर सिस्टम के सभी समीकरण संतुष्ट होते हैं। तार्किक कार्यों के संदर्भ में, तार्किक समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान प्राप्त करने के लिए, किसी को एक सेट ढूंढना चाहिए जिस पर तार्किक फ़ंक्शन Ф सत्य है, जो मूल कार्यों के संयोजन का प्रतिनिधित्व करता है:

यदि चरों की संख्या छोटी है, उदाहरण के लिए, 5 से कम, तो फ़ंक्शन के लिए एक सत्य तालिका बनाना मुश्किल नहीं है, जो हमें यह कहने की अनुमति देती है कि सिस्टम में कितने समाधान हैं और कौन से सेट हैं जो समाधान प्रदान करते हैं।

तार्किक समीकरणों की प्रणाली का समाधान खोजने पर कुछ यूएसई समस्याओं में, चर की संख्या 10 तक पहुंच जाती है। तब सत्य तालिका का निर्माण लगभग असंभव कार्य हो जाता है। समस्या के समाधान के लिए एक अलग दृष्टिकोण की आवश्यकता होती है। समीकरणों की एक मनमानी प्रणाली के लिए, गणना के अलावा कोई सामान्य विधि नहीं है जो ऐसी समस्याओं को हल करने की अनुमति देती है।

परीक्षा में प्रस्तावित समस्याओं में, समाधान आमतौर पर समीकरणों की प्रणाली की बारीकियों को ध्यान में रखने पर आधारित होता है। मैं दोहराता हूं, चर के एक सेट के लिए सभी विकल्पों को आज़माने के अलावा, समस्या को हल करने का कोई सामान्य तरीका नहीं है। समाधान सिस्टम की विशिष्टताओं के आधार पर बनाया जाना चाहिए। तर्क के ज्ञात नियमों का उपयोग करके समीकरणों की प्रणाली का प्रारंभिक सरलीकरण करना अक्सर उपयोगी होता है। इस समस्या के समाधान के लिए एक अन्य उपयोगी तकनीक इस प्रकार है। हम सभी सेटों में रुचि नहीं रखते हैं, बल्कि केवल उन सेटों में रुचि रखते हैं जिन पर फ़ंक्शन का मान 1 है। एक पूर्ण सत्य तालिका बनाने के बजाय, हम इसका एनालॉग - एक बाइनरी निर्णय वृक्ष बनाएंगे। इस वृक्ष की प्रत्येक शाखा एक समाधान से मेल खाती है और एक सेट निर्दिष्ट करती है जिस पर फ़ंक्शन का मान 1 है। निर्णय वृक्ष में शाखाओं की संख्या समीकरणों की प्रणाली के समाधानों की संख्या से मेल खाती है।

मैं कई समस्याओं के उदाहरणों का उपयोग करके समझाऊंगा कि बाइनरी निर्णय वृक्ष क्या है और इसे कैसे बनाया जाता है।

समस्या 18

तार्किक चर x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 के मानों के कितने अलग-अलग सेट हैं जो दो समीकरणों की प्रणाली को संतुष्ट करते हैं?

उत्तर: सिस्टम में 36 अलग-अलग समाधान हैं।

समाधान: समीकरणों की प्रणाली में दो समीकरण शामिल हैं। आइए 5 चरों के आधार पर पहले समीकरण के समाधानों की संख्या ज्ञात करें -। पहले समीकरण को बदले में 5 समीकरणों की एक प्रणाली के रूप में माना जा सकता है। जैसा कि दिखाया गया है, समीकरणों की प्रणाली वास्तव में तार्किक कार्यों के संयोजन का प्रतिनिधित्व करती है। विपरीत कथन भी सत्य है - स्थितियों के संयोजन को समीकरणों की एक प्रणाली के रूप में माना जा सकता है।

आइए निहितार्थ () के लिए एक निर्णय वृक्ष बनाएं - संयोजन का पहला पद, जिसे पहला समीकरण माना जा सकता है। इस पेड़ का चित्रमय प्रतिनिधित्व इस प्रकार दिखता है

समीकरण में चरों की संख्या के अनुसार पेड़ में दो स्तर होते हैं। पहला स्तर पहले चर का वर्णन करता है। इस स्तर की दो शाखाएँ इस चर के संभावित मानों को दर्शाती हैं - 1 और 0. दूसरे स्तर पर, पेड़ की शाखाएँ चर के केवल उन संभावित मानों को दर्शाती हैं जिनके लिए समीकरण सत्य का मूल्यांकन करता है। चूंकि समीकरण एक निहितार्थ निर्दिष्ट करता है, एक शाखा जिस पर मान 1 है, आवश्यक है कि इस शाखा पर 1 का मान हो। एक शाखा जिस पर मान 0 है वह 0 और 1 के बराबर मान वाली दो शाखाएं उत्पन्न करती है। पेड़ तीन समाधान निर्दिष्ट करता है, जिनमें से निहितार्थ मान 1 लेता है। प्रत्येक शाखा पर, समीकरण का समाधान देते हुए, चर मानों का एक संबंधित सेट लिखा जाता है।

ये सेट हैं: ((1, 1), (0, 1), (0, 0))

आइए निम्नलिखित समीकरण, निम्नलिखित निहितार्थ को जोड़कर निर्णय वृक्ष का निर्माण जारी रखें। हमारी समीकरण प्रणाली की विशिष्टता यह है कि प्रणाली का प्रत्येक नया समीकरण पिछले समीकरण से एक चर का उपयोग करता है, एक नया चर जोड़ता है। चूँकि वेरिएबल का मान पहले से ही ट्री में है, तो सभी शाखाओं पर जहाँ वेरिएबल का मान 1 है, वेरिएबल का मान भी 1 होगा। ऐसी शाखाओं के लिए, ट्री का निर्माण अगले स्तर तक जारी रहता है, लेकिन कोई नई शाखा नहीं दिखती. एक एकल शाखा जहां एक चर का मान 0 है, दो शाखाओं में विभाजित होगी जहां चर को 0 और 1 के मान प्राप्त होंगे। इस प्रकार, एक नए समीकरण का प्रत्येक जोड़, इसकी विशिष्टता को देखते हुए, एक समाधान जोड़ता है। मूल पहला समीकरण:

6 समाधान हैं. इस समीकरण के लिए संपूर्ण निर्णय वृक्ष इस प्रकार दिखता है:

हमारे सिस्टम का दूसरा समीकरण पहले के समान है:

अंतर केवल इतना है कि समीकरण Y चर का उपयोग करता है। इस समीकरण के भी 6 समाधान हैं। चूँकि प्रत्येक परिवर्तनशील समाधान को प्रत्येक परिवर्तनशील समाधान के साथ जोड़ा जा सकता है, समाधानों की कुल संख्या 36 है।

कृपया ध्यान दें कि निर्मित निर्णय वृक्ष न केवल समाधानों की संख्या (शाखाओं की संख्या के अनुसार) देता है, बल्कि वृक्ष की प्रत्येक शाखा पर स्वयं लिखे गए समाधान भी देता है।

समस्या 19

तार्किक चर x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 के मानों के कितने अलग-अलग सेट हैं जो नीचे सूचीबद्ध सभी शर्तों को पूरा करते हैं?

यह कार्य पिछले कार्य का एक संशोधन है. अंतर यह है कि एक और समीकरण जोड़ा जाता है जो चर X और Y से संबंधित होता है।

समीकरण से यह निष्कर्ष निकलता है कि जब इसका मान 1 है (ऐसा एक समाधान मौजूद है), तो इसका मान 1 है। इस प्रकार, एक सेट है जिस पर और 1 का मान है। जब 0 के बराबर है, तो यह हो सकता है 0 और 1 दोनों का कोई भी मान है। इसलिए, 0 के बराबर प्रत्येक सेट, और ऐसे 5 सेट हैं, वेरिएबल Y वाले सभी 6 सेटों से मेल खाते हैं। इसलिए, समाधान की कुल संख्या 31 है।

समस्या 20

समाधान: बुनियादी तुल्यताओं को याद रखते हुए, हम अपना समीकरण इस प्रकार लिखते हैं:

निहितार्थों की चक्रीय श्रृंखला का अर्थ है कि चर समान हैं, इसलिए हमारा समीकरण समीकरण के बराबर है:

इस समीकरण के दो समाधान हैं जब सभी 1 या 0 हों।

समस्या 21

समीकरण के कितने हल हैं:

समाधान: समस्या 20 की तरह, हम चक्रीय निहितार्थ से पहचान की ओर बढ़ते हैं, समीकरण को इस रूप में फिर से लिखते हैं:

आइए इस समीकरण के लिए एक निर्णय वृक्ष बनाएं:

समस्या 22

निम्नलिखित समीकरण प्रणाली के कितने समाधान हैं?

सेवा का उद्देश्य. ऑनलाइन कैलकुलेटर के लिए डिज़ाइन किया गया है तार्किक अभिव्यक्ति के लिए सत्य तालिका का निर्माण.
सत्य तालिका - एक तालिका जिसमें इनपुट चर के सभी संभावित संयोजन और उनके संबंधित आउटपुट मान शामिल हैं।
सत्य तालिका में 2n पंक्तियाँ हैं, जहाँ n इनपुट चर की संख्या है, और n+m कॉलम हैं, जहाँ m आउटपुट चर हैं।

निर्देश। कीबोर्ड से प्रवेश करते समय, निम्नलिखित परंपराओं का उपयोग करें:

बूलियन अभिव्यक्ति:

सत्य तालिका के लिए मध्यवर्ती तालिकाएँ व्युत्पन्न करना
एसकेएनएफ का निर्माण
एसडीएनएफ का निर्माण
ज़ेगल्किन बहुपद का निर्माण
वेइच-कर्नौघ मानचित्र का निर्माण
बूलियन फ़ंक्शन को न्यूनतम करना

उदाहरण के लिए, तार्किक अभिव्यक्ति abc+ab~c+a~bc को इस प्रकार दर्ज किया जाना चाहिए: a*b*c+a*b=c+a=b*c
तार्किक आरेख के रूप में डेटा दर्ज करने के लिए, इस सेवा का उपयोग करें।

तार्किक फ़ंक्शन दर्ज करने के नियम

1. v (डिसजंक्शन, OR) चिन्ह के स्थान पर + चिन्ह का प्रयोग करें।
2. तार्किक फ़ंक्शन से पहले फ़ंक्शन पदनाम निर्दिष्ट करने की कोई आवश्यकता नहीं है। उदाहरण के लिए, F(x,y)=(x|y)=(x^y) के बजाय आपको बस (x|y)=(x^y) दर्ज करना होगा।
3. चरों की अधिकतम संख्या 10 है.

कंप्यूटर लॉजिक सर्किट का डिज़ाइन और विश्लेषण गणित की एक विशेष शाखा - लॉजिक बीजगणित का उपयोग करके किया जाता है। तर्क के बीजगणित में, तीन मुख्य तार्किक कार्यों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है: "नहीं" (नकारात्मक), "और" (संयोजन), "या" (विघटन)।
किसी भी तार्किक उपकरण को बनाने के लिए, मौजूदा इनपुट चर पर प्रत्येक आउटपुट चर की निर्भरता निर्धारित करना आवश्यक है; इस निर्भरता को स्विचिंग फ़ंक्शन या तर्क बीजगणित फ़ंक्शन कहा जाता है।
एक तार्किक बीजगणित फ़ंक्शन को पूरी तरह से परिभाषित कहा जाता है यदि इसके सभी 2n मान दिए गए हैं, जहां n आउटपुट चर की संख्या है।
यदि सभी मान परिभाषित नहीं हैं, तो फ़ंक्शन को आंशिक रूप से परिभाषित कहा जाता है।
किसी उपकरण को तार्किक कहा जाता है यदि उसकी स्थिति का वर्णन तर्क बीजगणित फ़ंक्शन का उपयोग करके किया जाता है।
तार्किक बीजगणित फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करने के लिए निम्नलिखित विधियों का उपयोग किया जाता है:
बीजगणितीय रूप में, आप तार्किक तत्वों का उपयोग करके एक तार्किक उपकरण का एक सर्किट बना सकते हैं।


चित्र 1 - तर्क उपकरण आरेख

तर्क के बीजगणित की सभी संक्रियाएँ परिभाषित हैं सत्य सारणीमूल्य. सत्य तालिका किसी ऑपरेशन के परिणाम को निर्धारित करती है हर कोई संभव हैमूल कथनों के x तार्किक मान। लागू संचालन के परिणाम को प्रतिबिंबित करने वाले विकल्पों की संख्या तार्किक अभिव्यक्ति में कथनों की संख्या पर निर्भर करेगी। यदि तार्किक अभिव्यक्ति में कथनों की संख्या N है, तो सत्य तालिका में 2 N पंक्तियाँ होंगी, क्योंकि संभावित तर्क मानों के 2 N विभिन्न संयोजन हैं।

ऑपरेशन नॉट - तार्किक निषेध (उलटा)

एक तार्किक ऑपरेशन किसी एकल तर्क पर लागू नहीं होता है, जो एक सरल या जटिल तार्किक अभिव्यक्ति हो सकता है। ऑपरेशन का परिणाम निम्नलिखित नहीं है:

• यदि मूल अभिव्यक्ति सत्य है, तो उसके निषेध का परिणाम असत्य होगा;
• यदि मूल अभिव्यक्ति असत्य है, तो उसके निषेध का परिणाम सत्य होगा।

निषेध संक्रिया के लिए निम्नलिखित परंपराएँ स्वीकार नहीं की जाती हैं:
ए नहीं, Ā, ए नहीं, ¬ए, !ए
निषेध संक्रिया का परिणाम निम्नलिखित सत्य तालिका द्वारा निर्धारित नहीं होता है:

ए	ए नहीं
0	1
1	0

जब मूल कथन गलत होता है तो निषेधन ऑपरेशन का परिणाम सत्य होता है, और इसके विपरीत।

या ऑपरेशन - तार्किक जोड़ (विघटन, संघ)

तार्किक OR ऑपरेशन दो कथनों को संयोजित करने का कार्य करता है, जो या तो एक सरल या जटिल तार्किक अभिव्यक्ति हो सकता है। वे कथन जो तार्किक संचालन के लिए प्रारंभिक बिंदु होते हैं, तर्क कहलाते हैं। OR ऑपरेशन का परिणाम एक अभिव्यक्ति है जो तभी सत्य होगी जब मूल अभिव्यक्तियों में से कम से कम एक सत्य हो।
प्रयुक्त पदनाम: ए या बी, ए वी बी, ए या बी, ए||बी।
OR ऑपरेशन का परिणाम निम्नलिखित सत्य तालिका द्वारा निर्धारित किया जाता है:
OR ऑपरेशन का परिणाम तब सत्य होता है जब A सत्य है, या B सत्य है, या A और B दोनों सत्य हैं, और गलत है जब तर्क A और B गलत हैं।

संचालन और - तार्किक गुणन (संयोजन)

तार्किक संचालन AND दो कथनों (तर्कों) के प्रतिच्छेदन का कार्य करता है, जो या तो एक सरल या जटिल तार्किक अभिव्यक्ति हो सकता है। AND ऑपरेशन का परिणाम एक अभिव्यक्ति है जो सत्य होगी यदि और केवल तभी जब दोनों मूल अभिव्यक्ति सत्य हों।
प्रयुक्त पदनाम: ए और बी, ए Λ बी, ए और बी, ए और बी।
AND ऑपरेशन का परिणाम निम्नलिखित सत्य तालिका द्वारा निर्धारित किया जाता है:

ए	बी	ए और बी
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

AND ऑपरेशन का परिणाम तभी सत्य है जब कथन A और B दोनों सत्य हैं, और अन्य सभी मामलों में गलत हैं।

ऑपरेशन "अगर-तब" - तार्किक परिणाम (निहितार्थ)

यह ऑपरेशन दो सरल तार्किक अभिव्यक्तियों को जोड़ता है, जिनमें से पहली एक स्थिति है, और दूसरी इस स्थिति का परिणाम है।
प्रयुक्त पदनाम:
यदि ए, तो बी; ए में बी शामिल है; यदि ए तो बी; ए→बी.
ट्रुथ टेबल:

ए	बी	ए → बी
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

निहितार्थ ऑपरेशन का परिणाम केवल तभी गलत होता है जब आधार ए सत्य हो और निष्कर्ष बी (परिणाम) गलत हो।

ऑपरेशन "ए यदि और केवल यदि बी" (समतुल्यता, समतुल्यता)

प्रयुक्त पदनाम: ए ↔ बी, ए ~ बी।
ट्रुथ टेबल:

ए	बी	ए↔बी
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

ऑपरेशन "अतिरिक्त मॉड्यूलो 2" (एक्सओआर, एक्सक्लूसिव या, सख्त विच्छेदन)

प्रयुक्त नोटेशन: ए एक्सओआर बी, ए ⊕ बी।
ट्रुथ टेबल:

ए	बी	ए⊕बी
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

तुल्यता संक्रिया का परिणाम तभी सत्य होता है जब ए और बी दोनों एक ही समय में सत्य या गलत हों।

तार्किक संचालन की प्राथमिकता

• कोष्ठक में क्रियाएँ
• उलट देना
• संयोजक (&)
• विच्छेदन (वी), एक्सक्लूसिव या (एक्सओआर), योग मॉड्यूल 2
• निहितार्थ (→)
• समतुल्यता (↔)

उत्तम विभक्ति सामान्य रूप

किसी सूत्र का पूर्ण विच्छेदात्मक सामान्य रूप(एसडीएनएफ) एक समतुल्य सूत्र है, जो प्रारंभिक संयोजनों का विच्छेदन है और इसमें निम्नलिखित गुण हैं:

1. सूत्र के प्रत्येक तार्किक पद में फ़ंक्शन F(x 1,x 2,...x n) में शामिल सभी चर शामिल हैं।
2. सूत्र के सभी तार्किक पद भिन्न-भिन्न हैं।
3. एक भी तार्किक पद में कोई चर और उसका निषेध शामिल नहीं है।
4. किसी सूत्र में किसी भी तार्किक पद में एक ही चर दो बार नहीं होता है।

एसडीएनएफ या तो सत्य तालिकाओं का उपयोग करके या समकक्ष परिवर्तनों का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है।
प्रत्येक फ़ंक्शन के लिए, एसडीएनएफ और एससीएनएफ को क्रमपरिवर्तन तक विशिष्ट रूप से परिभाषित किया गया है।

उत्तम संयोजक सामान्य रूप

सूत्र का पूर्ण संयोजक सामान्य रूप (एससीएनएफ)यह इसके समकक्ष एक सूत्र है, जो प्राथमिक विभक्तियों का संयोजन है और गुणों को संतुष्ट करता है:

1. सभी प्रारंभिक वियोजनों में फ़ंक्शन F(x 1 ,x 2 ,...x n) में शामिल सभी चर शामिल होते हैं।
2. सभी प्रारंभिक वियोजन अलग-अलग हैं।
3. प्रत्येक प्रारंभिक वियोजन में एक बार एक चर होता है।
4. एक भी प्रारंभिक वियोजन में कोई चर और उसका निषेध शामिल नहीं है।