सॉलिड-स्टेट ड्राइव (एसएसडी) हमारे जीवन का एक हिस्सा बन गए हैं। अनुदान...
आइए संक्षेप में बताएं कि आंशिक डेरिवेटिव ढूंढना एक चर के फ़ंक्शन के "साधारण" डेरिवेटिव खोजने से कैसे भिन्न होता है:
1) जब हम आंशिक व्युत्पन्न पाते हैं, वह चर एक स्थिरांक माना जाता है.
2) जब हम आंशिक व्युत्पन्न पाते हैं, वह चर एक स्थिरांक माना जाता है.
3) प्रारंभिक कार्यों के व्युत्पन्न के नियम और तालिका किसी भी चर के लिए मान्य और लागू हैं ( , या कुछ अन्य) जिसके द्वारा भेदभाव किया जाता है।
दूसरा चरण। हम दूसरे क्रम के आंशिक व्युत्पन्न पाते हैं। उनमें से चार हैं.
पदनाम:
या - "x" के संबंध में दूसरा व्युत्पन्न
या - "Y" के संबंध में दूसरा व्युत्पन्न
या - मिश्रितव्युत्पन्न "x igrek द्वारा"
या - मिश्रितव्युत्पन्न "आईग्रेक एक्स द्वारा"
दूसरे व्युत्पन्न की अवधारणा के बारे में कुछ भी जटिल नहीं है। सामान्य शर्तों में, दूसरा व्युत्पन्न पहले व्युत्पन्न का व्युत्पन्न है।
स्पष्टता के लिए, मैं पहले से पाए गए प्रथम-क्रम आंशिक डेरिवेटिव को फिर से लिखूंगा:
सबसे पहले, आइए मिश्रित व्युत्पन्न खोजें:
जैसा कि आप देख सकते हैं, सब कुछ सरल है: हम आंशिक व्युत्पन्न लेते हैं और इसे फिर से अलग करते हैं, लेकिन अंदर इस मामले में- पहले से ही "Y" शैली में।
वैसे ही:
व्यावहारिक उदाहरणों के लिए, जब सभी आंशिक व्युत्पन्न निरंतर होते हैं, तो निम्नलिखित समानता होती है:
इस प्रकार, दूसरे क्रम के मिश्रित डेरिवेटिव के माध्यम से यह जांचना बहुत सुविधाजनक है कि क्या हमने पहले क्रम के आंशिक डेरिवेटिव को सही ढंग से पाया है।
"x" के संबंध में दूसरा अवकलज ज्ञात कीजिए।
कोई आविष्कार नहीं, चलो इसे लेते हैं और इसे फिर से "x" से अलग करें:
वैसे ही:
यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि खोजते समय आपको दिखाना होगा ध्यान बढ़ा, क्योंकि जांचने के लिए कोई अद्भुत समानताएं नहीं हैं।
उदाहरण 2
फ़ंक्शन के पहले और दूसरे क्रम के आंशिक व्युत्पन्न खोजें
यह आपके लिए स्वयं हल करने के लिए एक उदाहरण है (पाठ के अंत में उत्तर दें)।
कुछ अनुभव के साथ, उदाहरण संख्या 1 और 2 से आंशिक व्युत्पन्न आपके द्वारा मौखिक रूप से हल किया जाएगा।
आइए अधिक जटिल उदाहरणों पर आगे बढ़ें।
उदाहरण 3
जाँच करें कि । प्रथम क्रम का कुल अंतर लिखिए।
समाधान: प्रथम कोटि के आंशिक अवकलज ज्ञात कीजिए:
सबस्क्रिप्ट पर ध्यान दें: , "X" के आगे कोष्ठक में यह लिखना मना नहीं है कि यह एक स्थिरांक है। यह नोट शुरुआती लोगों के लिए समाधान को नेविगेट करना आसान बनाने के लिए बहुत उपयोगी हो सकता है।
आगे की टिप्पणी:
(1) हम सभी स्थिरांकों को अवकलज के चिह्न से बाहर ले जाते हैं। इस मामले में, और, और, इसलिए, उनके उत्पाद को एक स्थिर संख्या माना जाता है।
(2) जड़ों को सही ढंग से अलग करना न भूलें।
(1) हम सभी स्थिरांकों को व्युत्पन्न के चिह्न से हटा देते हैं; इस मामले में, स्थिरांक है।
(2) प्राइम के तहत हमारे पास दो कार्यों का उत्पाद बचा है, इसलिए, हमें उत्पाद को अलग करने के लिए नियम का उपयोग करने की आवश्यकता है 
.
(3) यह न भूलें कि यह एक जटिल कार्य है (यद्यपि जटिल कार्यों में सबसे सरल)। हम संबंधित नियम का उपयोग करते हैं: 
.
अब हम दूसरे क्रम के मिश्रित व्युत्पन्न पाते हैं:
इसका मतलब है कि सभी गणनाएँ सही ढंग से की गईं।
आइए कुल अंतर लिखें। विचाराधीन कार्य के संदर्भ में, यह बताने का कोई मतलब नहीं है कि दो चर वाले फ़ंक्शन का कुल अंतर क्या है। यह महत्वपूर्ण है कि इस अंतर को अक्सर व्यावहारिक समस्याओं में लिखने की आवश्यकता होती है।
दो चरों के किसी फ़ंक्शन के पहले क्रम के कुल अंतर का रूप है:
.
इस मामले में:
अर्थात्, आपको केवल पहले से पाए गए प्रथम-क्रम आंशिक डेरिवेटिव को सूत्र में प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है। इस और इसी तरह की स्थितियों में, अंशों में विभेदक चिह्न लिखना सबसे अच्छा है:
उदाहरण 4
किसी फ़ंक्शन का प्रथम क्रम आंशिक व्युत्पन्न खोजें 
. जाँच करें कि । प्रथम क्रम का कुल अंतर लिखिए।
यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। समस्या का संपूर्ण समाधान और उदाहरण पाठ के अंत में हैं।
आइए उदाहरणों की एक श्रृंखला देखें जिनमें जटिल कार्य शामिल हैं।
उदाहरण 5
(1) हम जटिल कार्यों के विभेदन का नियम लागू करते हैं . कक्षा से एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्नएक बहुत ही महत्वपूर्ण बिंदु याद रखना चाहिए: जब हम तालिका का उपयोग करके एक साइन (बाहरी फ़ंक्शन) को कोसाइन में बदलते हैं, तो हमारे पास एक एम्बेडिंग (आंतरिक फ़ंक्शन) होता है बदलना मत.
(2) यहां हम जड़ों के गुण का उपयोग करते हैं:, हम व्युत्पन्न के चिह्न से स्थिरांक निकालते हैं, और हम मूल को विभेदन के लिए आवश्यक रूप में प्रस्तुत करते हैं।
वैसे ही: 
आइए पहले क्रम का पूरा अंतर लिखें:
उदाहरण 6
किसी फ़ंक्शन का प्रथम क्रम आंशिक व्युत्पन्न खोजें 
.
कुल अंतर लिखिए।
यह आपके लिए स्वयं हल करने के लिए एक उदाहरण है (पाठ के अंत में उत्तर दें)। मैं आपको पूर्ण समाधान नहीं दूंगा क्योंकि यह काफी सरल है।
अक्सर, उपरोक्त सभी नियम संयोजन में लागू होते हैं।
उदाहरण 7
फ़ंक्शन का प्रथम क्रम आंशिक व्युत्पन्न खोजें।
(1) हम योग के विभेदन के नियम का उपयोग करते हैं।
(2) इस मामले में पहला पद एक स्थिरांक माना जाता है, क्योंकि अभिव्यक्ति में ऐसा कुछ भी नहीं है जो "x" पर निर्भर करता है - केवल "y"।
(आप जानते हैं, यह हमेशा अच्छा होता है जब एक भिन्न को शून्य में बदला जा सकता है)।
दूसरे पद के लिए हम उत्पाद विभेदीकरण नियम लागू करते हैं। वैसे, यदि इसके स्थान पर कोई फ़ंक्शन दिया गया होता तो एल्गोरिदम में कुछ भी नहीं बदला होता - यह महत्वपूर्ण है कि हमारे पास यहां है दो कार्यों का उत्पाद, जिनमें से प्रत्येक "x" पर निर्भर करता है, इसलिए आपको उत्पाद विभेदीकरण नियम का उपयोग करने की आवश्यकता है। तीसरे पद के लिए, हम एक जटिल फलन के विभेदन का नियम लागू करते हैं।
फ़ंक्शन दिया जाए. चूँकि x और y स्वतंत्र चर हैं, उनमें से एक बदल सकता है जबकि दूसरा अपना मान बनाए रखता है। आइए y के मान को अपरिवर्तित रखते हुए स्वतंत्र चर x को एक वृद्धि दें। तब z को एक वेतन वृद्धि प्राप्त होगी, जिसे x के संबंध में z की आंशिक वृद्धि कहा जाता है और इसे दर्शाया जाता है। इसलिए, ।
इसी प्रकार, हम y पर z की आंशिक वृद्धि प्राप्त करते हैं:।
फ़ंक्शन z की कुल वृद्धि समानता द्वारा निर्धारित की जाती है।
यदि कोई सीमा है, तो इसे चर x के संबंध में एक बिंदु पर फ़ंक्शन का आंशिक व्युत्पन्न कहा जाता है और इसे प्रतीकों में से एक द्वारा दर्शाया जाता है:
.
किसी बिंदु पर x के संबंध में आंशिक अवकलज आमतौर पर प्रतीकों द्वारा दर्शाए जाते हैं 
.
चर y के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न को इसी तरह परिभाषित और दर्शाया गया है:
इस प्रकार, कई (दो, तीन या अधिक) चर वाले फ़ंक्शन के आंशिक व्युत्पन्न को इन चरों में से एक के फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है, बशर्ते कि शेष स्वतंत्र चर के मान स्थिर हों। इसलिए, किसी फ़ंक्शन के आंशिक व्युत्पन्न एक चर के फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना के लिए सूत्रों और नियमों का उपयोग करके पाए जाते हैं (इस मामले में, x या y को क्रमशः एक स्थिर मान माना जाता है)।
आंशिक व्युत्पन्नों को प्रथम-क्रम आंशिक व्युत्पन्न कहा जाता है। इन्हें के कार्यों के रूप में माना जा सकता है। इन फ़ंक्शंस में आंशिक व्युत्पन्न हो सकते हैं, जिन्हें दूसरे क्रम के आंशिक व्युत्पन्न कहा जाता है। उन्हें निम्नानुसार परिभाषित और लेबल किया गया है:
; 
;
; 
.
दो चर वाले फ़ंक्शन के पहले और दूसरे क्रम के अंतर।
किसी फ़ंक्शन के कुल अंतर (सूत्र 2.5) को प्रथम-क्रम अंतर कहा जाता है।
कुल अंतर की गणना का सूत्र इस प्रकार है:
(2.5) या 
, कहाँ ,
किसी फ़ंक्शन का आंशिक अंतर।
मान लीजिए कि फ़ंक्शन में दूसरे क्रम के निरंतर आंशिक व्युत्पन्न हैं। दूसरे क्रम का अंतर सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है। आइए इसे खोजें:
यहाँ से: 
. प्रतीकात्मक रूप से इसे इस प्रकार लिखा गया है:
.
अनिर्धारित अभिन्न.
किसी फलन का प्रतिअवकलन, अनिश्चित समाकलन, गुण।
फ़ंक्शन F(x) कहा जाता है antiderivativeकिसी दिए गए फ़ंक्शन f(x) के लिए, यदि F"(x)=f(x), या, समान क्या है, यदि dF(x)=f(x)dx।
प्रमेय. यदि परिमित या अनंत लंबाई के कुछ अंतराल (X) में परिभाषित एक फ़ंक्शन f(x) में एक प्रतिअवकलन, F(x) है, तो इसमें अनंत रूप से कई प्रतिअवकलन भी हैं; ये सभी अभिव्यक्ति F(x) + C में समाहित हैं, जहां C एक मनमाना स्थिरांक है।
किसी निश्चित अंतराल में या परिमित या अनंत लंबाई के खंड पर परिभाषित किसी दिए गए फ़ंक्शन f(x) के लिए सभी एंटीडेरिवेटिव्स के सेट को कहा जाता है अनिश्चितकालीन अभिन्नफ़ंक्शन f(x) से [या अभिव्यक्ति f(x)dx ] से और प्रतीक द्वारा दर्शाया गया है।
यदि F(x) f(x) के प्रतिअवकलन में से एक है, तो प्रतिअवकलन प्रमेय के अनुसार
, जहां C एक मनमाना स्थिरांक है।
एक प्रतिअवकलन की परिभाषा के अनुसार, F"(x)=f(x) और, इसलिए, dF(x)=f(x) dx। सूत्र (7.1) में, f(x) को एक समाकलन फलन कहा जाता है, और f( x) dx को इंटीग्रैंड एक्सप्रेशन कहा जाता है।
आंशिक व्युत्पन्न का उपयोग कई चर के कार्यों से जुड़ी समस्याओं में किया जाता है। खोजने के नियम बिल्कुल एक चर के कार्यों के समान हैं, एकमात्र अंतर यह है कि विभेदन के समय किसी एक चर को एक स्थिर (स्थिर संख्या) माना जाना चाहिए।
FORMULA
दो चर $ z(x,y) $ के एक फ़ंक्शन के लिए आंशिक व्युत्पन्न निम्नलिखित रूप में लिखे गए हैं $ z"_x, z"_y $ और सूत्रों का उपयोग करके पाए जाते हैं:
प्रथम क्रम आंशिक व्युत्पन्न
$$ z"_x = \frac(\आंशिक z)(\आंशिक x) $$
$$ z"_y = \frac(\आंशिक z)(\आंशिक y) $$
दूसरे क्रम का आंशिक व्युत्पन्न
$$ z""_(xx) = \frac(\आंशिक^2 z)(\आंशिक x \आंशिक x) $$
$$ z""_(yy) = \frac(\partial^2 z)(\आंशिक y \आंशिक y) $$
मिश्रित व्युत्पन्न
$$ z""_(xy) = \frac(\आंशिक^2 z)(\आंशिक x \आंशिक y) $$
$$ z""_(yx) = \frac(\partial^2 z)(\आंशिक y \आंशिक x) $$
एक जटिल फ़ंक्शन का आंशिक व्युत्पन्न
ए) मान लीजिए $ z (t) = f(x(t), y(t)) $, तो एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:
$$ \frac(dz)(dt) = \frac(\आंशिक z)(\आंशिक x) \cdot \frac(dx)(dt) + \frac(\आंशिक z)(\आंशिक y) \cdot \frac (डीई)(डीटी)$$
बी) मान लीजिए $ z (u,v) = z(x(u,v),y(u,v)) $, तो फ़ंक्शन के आंशिक व्युत्पन्न सूत्र द्वारा पाए जाते हैं:
$$ \frac(\आंशिक z)(\आंशिक u) = \frac(\आंशिक z)(\आंशिक x) \cdot \frac(\आंशिक x)(\आंशिक u) + \frac(\आंशिक z)( \आंशिक y) \cdot \frac(\आंशिक y)(\आंशिक u) $$
$$ \frac(\आंशिक z)(\आंशिक v) = \frac(\आंशिक z)(\आंशिक x) \cdot \frac(\आंशिक x)(\आंशिक v) + \frac(\आंशिक z)( \आंशिक y) \cdot \frac(\आंशिक y)(\आंशिक v) $$
किसी अंतर्निहित फ़ंक्शन का आंशिक व्युत्पन्न
a) माना $ F(x,y(x)) = 0 $, फिर $$ \frac(dy)(dx) = -\frac(f"_x)(f"_y) $$
बी) मान लीजिए $ F(x,y,z)=0 $, फिर $$ z"_x = - \frac(F"_x)(F"_z); z"_y = - \frac(F"_y)( F"_z) $$
समाधान के उदाहरण
| उदाहरण 1 |
| पहले क्रम का आंशिक व्युत्पन्न खोजें $ z (x,y) = x^2 - y^2 + 4xy + 10 $ |
| समाधान |
|
$ x $ के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न खोजने के लिए, हम $ y $ को एक स्थिर मान (संख्या) मानेंगे: $$ z"_x = (x^2-y^2+4xy+10)"_x = 2x - 0 + 4y + 0 = 2x+4y $$ $y$ के संबंध में किसी फ़ंक्शन का आंशिक व्युत्पन्न खोजने के लिए, हम $y$ को एक स्थिरांक द्वारा परिभाषित करते हैं: $$ z"_y = (x^2-y^2+4xy+10)"_y = -2y+4x $$ यदि आप अपनी समस्या का समाधान नहीं कर सकते तो हमें भेजें। हम विस्तृत समाधान प्रदान करेंगे. आप गणना की प्रगति देख सकेंगे और जानकारी प्राप्त कर सकेंगे। इससे आपको समय पर अपने शिक्षक से अपना ग्रेड प्राप्त करने में मदद मिलेगी! |
| उत्तर |
| $$ z"_x = 2x+4y; z"_y = -2y+4x $$ |
| उदाहरण 2 |
| दूसरे क्रम के फ़ंक्शन $ z = e^(xy) $ का आंशिक व्युत्पन्न खोजें |
| समाधान |
|
सबसे पहले आपको पहला डेरिवेटिव ढूंढना होगा, और फिर उन्हें जानकर आप दूसरे क्रम के डेरिवेटिव पा सकते हैं। मान लीजिए $y$ एक स्थिरांक है: $$ z"_x = (e^(xy))"_x = e^(xy) \cdot (xy)"_x = ye^(xy) $$ आइए अब $ x $ को एक स्थिर मान के रूप में सेट करें: $$ z"_y = (e^(xy))"_y = e^(xy) \cdot (xy)"_y = xe^(xy) $$ पहले डेरिवेटिव को जानने के बाद, हम इसी तरह दूसरा भी ढूंढते हैं। $y$ को स्थिरांक पर सेट करें: $$ z""_(xx) = (z"_x)"_x = (ye^(xy))"_x = (y)"_x e^(xy) + y(e^(xy))"_x = 0 + ye^(xy)\cdot (xy)"_x = y^2e^(xy) $$ हम $ x $ को एक स्थिरांक पर सेट करते हैं: $$ z""_(yy) = (z"_y)"_y = (xe^(xy))"_y = (x)"_y e^(xy) + x(e^(xy))"_y = 0 + x^2e^(xy) = x^2e^(xy) $$ अब जो कुछ बचा है वह मिश्रित व्युत्पन्न खोजना है। आप $ z"_x $ को $ y $ से अलग कर सकते हैं, और आप $ z"_y $ को $ x $ से अलग कर सकते हैं, क्योंकि प्रमेय के अनुसार $ z""_(xy) = z""_(yx) $ $$ z""_(xy) = (z"_x)"_y = (ye^(xy))"_y = (y)"_y e^(xy) + y (e^(xy))"_y = ye^(xy)\cdot (xy)"_y = yxe^(xy) $$ |
| उत्तर |
| $$ z"_x = ye^(xy); z"_y = xe^(xy); z""_(xy) = yxe^(xy) $$ |
| उदाहरण 4 |
| मान लीजिए $ 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ अंतर्निहित फ़ंक्शन $ F(x,y,z) = 0 $ को परिभाषित करते हैं। पहले क्रम के आंशिक व्युत्पन्न खोजें। |
| समाधान |
|
हम फ़ंक्शन को इस प्रारूप में लिखते हैं: $ F(x,y,z) = 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ और डेरिवेटिव खोजें: $$ z"_x (y,z - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_x = 3 x^2 z - 4 $$ $$ z"_y (x,y - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_y = 3z^2 $$ |
| उत्तर |
| $$ z"_x = 3x^2 z - 4; z"_y = 3z^2; $$ |
मान लीजिए दो वेरिएबल्स का एक फ़ंक्शन दिया गया है। आइए तर्क को बढ़ाएँ और तर्क को अपरिवर्तित छोड़ दें। फिर फ़ंक्शन को एक वेतन वृद्धि प्राप्त होगी, जिसे चर द्वारा आंशिक वृद्धि कहा जाता है और इसे दर्शाया जाता है:
इसी प्रकार, तर्क को ठीक करके और तर्क में वृद्धि देकर, हम चर द्वारा फ़ंक्शन की आंशिक वृद्धि प्राप्त करते हैं:
मात्रा को किसी बिंदु पर फ़ंक्शन की कुल वृद्धि कहा जाता है।
परिभाषा 4. इनमें से किसी एक चर के संबंध में दो चर वाले फ़ंक्शन का आंशिक व्युत्पन्न किसी दिए गए चर की वृद्धि के लिए फ़ंक्शन के संबंधित आंशिक वृद्धि के अनुपात की सीमा है जब बाद वाला शून्य हो जाता है (यदि यह सीमा है) मौजूद)। आंशिक व्युत्पन्न को इस प्रकार दर्शाया गया है: या, या।
इस प्रकार, परिभाषा के अनुसार हमारे पास है:
फ़ंक्शन के आंशिक व्युत्पन्न की गणना एक चर के फ़ंक्शन के समान नियमों और सूत्रों के अनुसार की जाती है, यह ध्यान में रखते हुए कि जब एक चर के संबंध में अंतर किया जाता है, तो इसे स्थिर माना जाता है, और जब एक चर के संबंध में अंतर किया जाता है, तो इसे स्थिर माना जाता है। .
उदाहरण 3. कार्यों के आंशिक व्युत्पन्न खोजें:
समाधान। ए) खोजने के लिए, हम इसे एक स्थिर मान मानते हैं और इसे एक चर के एक फ़ंक्शन के रूप में अलग करते हैं:
इसी प्रकार, एक स्थिर मान मानते हुए, हम पाते हैं:
परिभाषा 5. किसी फ़ंक्शन का कुल अंतर संबंधित स्वतंत्र चर की वृद्धि द्वारा इस फ़ंक्शन के आंशिक व्युत्पन्न के उत्पादों का योग है, अर्थात।
यह मानते हुए कि स्वतंत्र चर के अंतर उनकी वृद्धि के साथ मेल खाते हैं, अर्थात। , कुल अंतर का सूत्र इस प्रकार लिखा जा सकता है
उदाहरण 4. फ़ंक्शन का पूर्ण अंतर ज्ञात करें।
समाधान। चूंकि, कुल अंतर सूत्र का उपयोग करके हम पाते हैं
उच्चतर क्रम आंशिक व्युत्पन्न
आंशिक व्युत्पन्न को प्रथम क्रम आंशिक व्युत्पन्न या प्रथम आंशिक व्युत्पन्न कहा जाता है।
परिभाषा 6. किसी फ़ंक्शन के दूसरे क्रम के आंशिक व्युत्पन्न, पहले क्रम के आंशिक व्युत्पन्न के आंशिक व्युत्पन्न होते हैं।
चार दूसरे क्रम के आंशिक व्युत्पन्न हैं। उन्हें इस प्रकार नामित किया गया है:
तीसरे, चौथे और उच्चतर क्रम के आंशिक व्युत्पन्न को समान रूप से परिभाषित किया गया है। उदाहरण के लिए, किसी फ़ंक्शन के लिए हमारे पास:
विभिन्न चरों के संबंध में लिए गए दूसरे या उच्चतर क्रम के आंशिक व्युत्पन्नों को मिश्रित आंशिक व्युत्पन्न कहा जाता है। किसी फ़ंक्शन के लिए, ये व्युत्पन्न हैं। ध्यान दें कि उस स्थिति में जब मिश्रित व्युत्पन्न निरंतर होते हैं, तब समानता कायम रहती है।
उदाहरण 5. किसी फ़ंक्शन के दूसरे क्रम के आंशिक व्युत्पन्न खोजें
समाधान। इस फ़ंक्शन के लिए प्रथम क्रम आंशिक व्युत्पन्न उदाहरण 3 में पाए जाते हैं:
चर x और y के संबंध में अंतर करने पर, हम प्राप्त करते हैं
