Сечение прямого кругового конуса плоскостью. Сечение конуса плоскостью

При пересечении прямого кругового конуса с плоскостью могут образовываться следующие кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола и парабола. Вид этих кривых зависит от угла наклона секущей плоскости к оси конической поверхности .

Ниже мы рассмотрим задачу, в которой требуется построить проекции и натуральную величину сечения конуса ω плоскостью α . Начальные данные представлены на рисунке ниже.

Определение высшей и низшей точки сечения. Границы видимости

Построение линии пересечения следует начинать с нахождения её характерных точек. Они определяют границы сечения и его видимость по отношению к наблюдателю.

Через ось конической поверхности проведем вспомогательную плоскость γ, параллельную П 2 . Она пересекает конус ω по двум образующим, а плоскость α по фронтали f γ . Точки 1 и 2 пересечения f γ с образующими являются граничными точками. Они делят сечение на видимую и невидимую части.

Определим высшую и низшую точки линии пересечения. Для этого через ось конуса перпендикулярно h 0 α введем дополнительную секущую плоскость β. Она пересекает коническую поверхность по образующим SL и SK, а плоскость α по прямой MN. Искомые точки 3 = SL ∩ MN и 4 = SK ∩ MN определяют большую ось эллипса. Его центр находится в точке O, которая делит отрезок 3–4 пополам.

Определение промежуточных точек и проекций эллипса

Чтобы построить проекции сечения наиболее точно, найдем ряд дополнительных точек. В случае с эллипсом целесообразно определить величину его малого диаметра. Для этого через центр O проводим вспомогательную горизонтальную плоскость δ. Она пересекает коническую поверхность по окружности диаметром AB, а плоскость α – по горизонтали h δ . Строим горизонтальные проекции окружности и прямой h δ . Их пересечение определяет точки 5" и 6" малого диаметра эллипса.

Для построения промежуточных точек 7 и 8 вводим вспомогательную горизонтальную плоскость ε. Проекции 7" и 8" определяются аналогично 5" и 6", как это показано на рисунке.

Соединив найденные точки плавной кривой, мы получили контур эллиптического сечения. На рисунке он обозначен красным цветом. Фронтальная проекция контура меняет свою видимость в точках 1 и 2, как это было отмечено выше.

Чтобы найти натуральную величину сечения, повернем плоскость α до совмещения её с горизонтальной плоскостью . В качестве оси вращения будем использовать след h 0 α . Его положение в процессе преобразований останется неизменным.

Построение начинается с определения направления фронтального следа f 1 α . На прямой f 0 α возьмем произвольную точку E и определим её проекцию E". Из E" опустим перпендикуляр к h 0 α . Пересечение данного перпендикуляра с окружностью радиусом X α E"" определяет положение точки E" 1 . Через X α и E" 1 проводим f 1 α .

Строим проекцию горизонтали h" 1 δ ∥ h 0 α , как это показано на рисунке. Точки O" 1 и 5" 1 , 6" 1 лежат на пересечении h" 1 δ с прямыми, проведенными перпендикулярно h 0 α из O" и 5", 6". Аналогично на горизонтали h" 1 ε находим 7" 1 и 8" 1 .

Строим проекции фронталей f" 1 γ ∥ f 1 α , f" 3 ∥ f 1 α и f" 4 ∥ f 1 α . Точки 1" 1 , 2" 1 , 3" 1 и 4" 1 лежат на пересечении этих фронталей с перпендикулярами, восстановленными к h 0α из 1", 2", 3" и 4" соответственно.

Лекция 16. ПРОЕКЦИИ КОНУСА

Конус – тело вращения.

Прямой круговой конус относится к одному из видов тел вращения.

Коническая поверхность образуется прямой линией, проходящей через некоторую неподвижную точку и последовательно через все точки некото-

рой кривой направляющей линии . Неподвижная точка S называется вершиной. Основанием конуса служит поверхность образованная замкнутой направляющей.

Конус, основанием которого является окружность, а вершина S находится на оси

перпендикулярной основанию, проходящей через его середину, называется прямым кру-

говым конусом. Рис. 1.

Построение ортогональных проекций конуса, приведено на рис. 2.

Горизонтальная проекция конуса представляет собой окружность, равную основанию конуса, а вершина конуса S совпадает с ее центром. На фронтальную и профильную проекции конус проецируется в виде треугольни-

ка, ширина основания которого равна диаметру основания. А высота равна высоте конуса. Наклонные стороны треугольника – проекции крайних (очерковых) образующих конуса.

Построение точек на поверхности конуса в ортогональных и аксонометриче-

ской проекциях показано на рис. 2, 3.

Если на фронтальной проекции конуса Рис. 2 заданы точки А и В, то недостающие проек-

ции этих точек можно построить двумя способами.

Первый способ: с помощью проекций вспомогательной образующей проходящей через заданную точку.

Дано: фронтальная проекция точки А – точка (а’), расположенная в пределах видимой части конуса.

Через вершину конуса и заданную точку (a’) проводим прямую линию до основания конуса и получаем точку (e’) – основание образующей s’e’.

H. Найдем горизонтальную проекцию т. e в пределах видимой части окружности основания конуса, проведя проецирующую прямую e’e, и соединим полученную т. е с горизонтальной проекцией вер-

шины конуса s.

Так как искомая т. А принадлежит обра-

зующей s’e’ то она должна лежать на ее горизонтальной проекции. Поэтому с помощью линии связи мы переносим ее на линию se и по-

лучаем горизонтальную проекцию т. a. Профильная проекция a” т. А определя-

ется пересечением той же образующей s”e” на профильной проекции с линиями связи, переносящими т. а с горизонтальной и фронталь-

ной проекций.

Профильная проекция a” т. А в данном

случае невидимая, т. к. находится за проекцией крайней образующей s”4” и обозначается в круглых скобках.

Рис. 3 Второй способ: с помощью построения проекций сечения конической поверхности горизонтальной плоскостью Pv па-

раллельной основанию конуса и проходящей через заданную точку В. Рис. 3. Дано: фронтальная проекция точки В – т. b’, расположенная в пределах

видимой части конуса.

Через т. b’ проводим прямую, Pv параллельную основанию конуса, кото-

рая является фронтальной проекцией секущей плоскости P. Эта линия пересе-

кает ось конуса в т. 01’ и крайние образующие в т. k1’ и k3’. Отрезок прямой k1’k3’ является фронтальной проекцией сечения конуса через т. b’.

Горизонтальной проекцией этого сечения будет окружность, радиус которой определяется на фронтальной проекции как расстояние 01’k1’ от оси ко-

нуса до крайней образующей.

Так как точка b’ лежит в плоскости сечения, то с помощью линии связи переносим ее на горизонтальную проекцию сечения в пределах видимой части конуса.

Профильная проекция т. b” определяется как пересечение профильной

проекции сечения k2”k4” с линией связи, переносящей положение т. b с гори-

зонтальной проекции.

Построение точек на поверхности конуса в аксонометрии.

Строим конус в прямоугольной изометрии. Построение окружности основания конуса в аксонометрии повторяет построение основания цилиндра. (См. раздел 8.2.1.). Отложив на вертикальной оси высоту конуса, проводим две образующие – касательные к овалу основания.

Первый способ. Рис. 2.

Строим образующую SE: на оси X или Y откладываем координаты Х или

Y соответствующие т. Е на горизонтальной проекции и проведем через них линии параллельные оси Y или X соответственно. Пересечение их дает положение точки Е на основании конуса.

Соединим т. Е с вершиной конуса S и с центром основания т. 0. Рассмотрим полученный треугольник S0E: сторона 0S – ось симметрии конуса совпадающая с осью Z. Сторона SE – образующая конуса, на которой находится т. А. Сторона 0E - основание треугольника составляющая с осью Z угол 900 .

Высоту т. А берем на фронтальной проекции по перпендикуляру от ос-

нования конуса до т. a’ и откладываем ее в аксонометрии на оси Z, то есть на стороне 0S.

Через полученную засечку проводим прямую в плоскости треугольника

параллельно основанию треугольника до пересечения с образующей SE. Таким образом, переносим высоту положения т. А на поверхность кону-

Второй способ. Рис. 3.

Строим сечение конуса плоскостью параллельной основанию и проходящей через т. В. Такое сечение конуса есть окружность с радиусом равным

отрезку ОК расположенной на высоте равной высоте т. В. В аксонометрии эта окружность строиться в виде эллипса (или заменяющего его овала).

Затем, на осях X и Y в основании конуса откладываем соответствующие

координаты X и Y т. В взятые с горизонтальной проекции и из точки их пересечения восстанавливаем перпендикуляр до пересечения с эллипсом сечения,

что определит положение т. В.

Сечения конуса.

В зависимости от направления в пространстве секущей плоскости, проходящей через конус, в сечении прямого кругового конуса могут получаться

различные плоские фигуры:

А – прямые (образующие) Б – гипербола

В – окружность

Г – парабола

Д – эллипс Конические сечения – эллипс, парабола и гипербола являются лекаль-

ными кривыми, которые строятся по точкам принадлежащим кривой сечения.

А. Сечение конуса вертикальной плоскостью проходящей через его вершину представляет собой прямые. Рис. 4.

На горизонтальной проекции конуса через точку S проводим линию Ph под произвольным углом к осям X и Y, которая является горизонтальной проекцией секу-

щей вертикальной плоскости. Эта линия

пересекает окружность основания конуса в двух точках a и b, а отрезок aob является горизонтальной проекцией сечения конуса.

Мысленно отбросим левую часть конуса от линии Ph и справа от нее получим горизонтальную проекцию усеченного ко-

Отрезки SA и SB - горизонтальные

проекции образующих конуса, по которым и проходит секущая плоскость Ph.

Строим образующие SA и SB на

фронтальной проекции, перенеся на нее точки A и B и соединив полученные точки a’ и b’ с вершиной s’. Треугольник a’s’b’ и будет фронтальной проекцией сечения

конуса, а линия s’3’ – крайней образующей конуса.

Аналогично строим профильную проекцию сечения конуса, перенеся

точки a и b с горизонтальной проекции на профильную и соединив полученные точки a” и b” с вершиной конуса s”. Треугольник a”s”b” является профильной проекцией сечения конуса, а линия s”2” есть крайняя образующая конуса.

или X соответственно. Их пересечение с линией основания конуса позволяет получить точки A и B на аксонометрии. Соединив их между собой, и каждую из

них с вершиной конуса S, получим треугольник ABS являющийся сечением конуса вертикальной плоскостью P.

Б. Сечение конуса вертикальной плоскостью, не проходящей через его вершину, представляет собой гиперболу. Рис. 5.

Если вертикальная секущая плоскость P не проходит через вершину конуса, то она уже не совпадает с образующими его боковой поверхности, а наоборот – пересекает

На горизонтальной проекции конуса проводим секущую плоскость Ph на произвольном расстоянии от вершины S и парал-

лельную оси Y. В общем случае положение

секущей плоскости относительно осей X и Y может быть любое.

Линия Ph пересекает окружность основания конуса в двух точках a и b. Отрезок ab этой прямой есть горизонтальная проек-

ция сечения конуса. Часть окружности слева от линии Ph делим на произвольное коли-

чество равных частей, в донном случае на 12 и, затем каждую полученную точ-

ку на окружности соединяем с вершиной конуса s. Эти образующие пересека-

ются секущей плоскостью Ph и мы получаем ряд точек, которые принадлежат образующим и проекции сечения конуса ab одновременно.

Строим полученные образующие на фронтальной проекции конуса

Переносим с горизонтальной проекции все точки на основании конуса (a, 1, …,

5, b) и на фронтальной проекции получаем точки (a’, 1’, …, 5’, a’) и соединяем из с вершиной конуса s’. Проводим на фронтальной проекции через точку b’ секущую плоскость Pv перпендикулярно основанию конуса. Линия Pv пересекает

все образующие, и точки их пересечения принадлежат проекции сечения конуса.

Повторим построение всех образующих на профильной проекции конуса, перенеся на нее точки (a, 1, …, 5, b) с горизонтальной проекции. Полученные точки (a”, 1”, …, 5”, b”) соединим с вершиной s”.

На полученные образующие перенесем с фронтальной проекции точки пересечения соответствующих образующих с секущей плоскостью Pv. Полученные точки соединим кривой линией, которая представляет собой лекальную

кривую – гиперболу.

Построение аксонометрии. Рис. 5.

Строим конус в аксонометрии, как описано выше.

Далее с горизонтальной проекции конуса берем координаты по оси X или Y для всех точек a, 1, …, 5, b и переносим их на аксонометрические оси X или Y находим их положение на основании конуса в аксонометрии. Соединяем

их последовательно с вершиной конуса S и получаем ряд образующих на поверхности конуса соответствующих образующим на ортогональных проекциях.

На каждой образующей найдем точку ее пересечения с секущей плоскостью P аналогично тому, как это было описано выше (см. построение точек на поверхности конуса, первый способ).

Соединив полученные на образующих точки лекальной кривой, а также точки A и B получим аксонометрическую проекцию усеченного конуса.

В Сечение конуса горизонтальной плоскостью. Рис. 6.

Сечение прямого кругового конуса горизонтальной плоскостью параллельной основанию – есть окружность.

Если рассечь конус на произвольной высоте h от основания конуса через точку a’

лежащую на его оси o’s’ плоскостью параллельной его основанию, то на фронтальной проекции мы увидим горизонтальную линию Pv являющуюся фронтальной проекцией секущей плоскости, которая образует сечение

конуса I’, II’, III’, IV’. На профильной проекции

W вид секущей плоскости и сечение конуса аналогичен и соответствует линии Pw.

На горизонтальной проекции сечение

конуса представляет собой круг в натураль-

ную величину, радиус окружности которого проецируется с фронтальной проекции как расстояние от оси конуса в точке a’ до точки I’, лежащей на крайней образующей 1’s’.

Построение аксонометрии. Рис. 6.

Строим конус в аксонометрии, как опи-

сано выше.

Затем на оси Z откладываем высоту h точки А от основания конуса. Через точку А проводим линии параллельные осям X и Y и строим окружность в

аксонометрии радиусом R=a’I’ взятым с фронтальной проекции.

Г Сечение конуса наклонной плоскостью, параллельной образующей. Рис. 7.

Строим три проекции конуса - горизонтальную, фронтальную и профильную. (см. выше).

На фронтальной проекции конуса проводим секущую плоскость Pv параллельно очерковой образующей s’6’на произвольном расстоянии от ее нача-

ла на основании конуса через т. a’(b’). Отрезок a’c’ есть фронтальная проекция сечения конуса.

На горизонтальной проекции строим проекцию основания секущей плоскости Р через точки a, b. Отрезок ab – есть проекция основания сечения конуса.

Далее окружность основания конуса делим на произвольное количество частей и полученные точки соединяем с вершиной конуса s. Получаем ряд образующих конуса, которые последовательно переносим на фронтальную и профильную проекции. (см. пункт Б).

На фронтальной проекции след секущей плоскости Pv пересекает обра-

зующие и в пересечении дает ряд точек, которые принадлежат как секущей плоскости, так и образующим конуса одновременно.

Переносим линиями связи эти точки на проекции образующих на гори-

зонтальную и профильную проекции.

Полученные точки соединим кривой линией, которая представляет собой

лекальную кривую - параболу.

Построение аксонометрии. Рис. 7.

Строим аксонометрическую проекцию конуса, как описано выше.

всех точек (a, b, 1, …, 6) и переносим их на аксонометрические оси X или Y соответственно, определив, таким образом их поло-

жение на основании конуса в аксонометрии. Соединяем их последовательно с вершиной

конуса S и получаем ряд образующих на поверхности конуса, соответствующих образующим на ортогональных проекциях.

На каждой образующей найдем точку ее пересечения с секущей плоскостью P

аналогично тому, как это было описано выше (см. построение точек на поверхности конуса).

Д. Сечение конуса наклонной плоскостью, расположенной под произвольным углом к основанию конуса представляет собой эллипс. Рис. 8.

Строим три проекции конуса - горизонтальную, фронтальную и про-

фильную. (см. выше).

На фронтальной проекции конуса проводим линию секущей плоскости Pv под произвольным углом к основанию конуса.

На горизонтальной проекции, окружность основания конуса делим на произвольное количество равных частей (в данном случае на 12) и получен-

ные точки соединяем с вершиной конуса S. Получаем ряд образующих, которые с помощью линий связи, последовательно переносим на фронтальную и профильную проекции.

На фронтальной проекции секущая плоскость Pv пересекает все образующие, и полученные точки их пересечения принадлежат одновременно и се-

кущей плоскости и боковой поверхности конуса, являясь фронтальной проекцией искомого сечения.

Переносим эти точки на горизонтальную проекцию конуса.

Затем строим и профильную проекцию сечения конуса (см. выше), соединяя полученные точки лекальной кривой, которая представляет собой эл-

Построение натуральной величины сечения.

Лекальные кривые (эллипсы) на горизонтальной и профильной проекции представляют собой искаженные изображения сечения конуса.

Истинная (натуральная) величина сечения получается путем совмеще-

ния секущей плоскости P с горизонтальной плоскостью проекций H. Все точки сечения конуса на фронтальной проекции переносим на ось X при помощи циркуля, поворачивая их вокруг точки k". Далее, на горизонтальной проекции, линиями связи, параллельными оси Y продолжаем их до пересечения их с ли-

ниями связи, взятыми с горизонтальной проекции соответствующих точек. Пе-

ресечение горизонтальных и вертикальных линий связи соответствующих точек позволяет получить точки, принадлежащие натуральной величине сечения. Соединив их лекальной кривой, мы получим эллипс натуральной величины сечения конуса.

Построение аксонометрии усеченного конуса. Рис. 8.

Построение аксонометрии усеченного конуса выполняется путем нахождения точек принадлежащих сечению конуса любым из описанных выше способов (см. выше).

Построение развертки поверхности усеченного конуса. Рис. 8.

Предварительно построим развертку боковой поверхности не усеченного

конуса. Задаемся положением т. S на листе и проводим из нее дугу радиусом равным натуральной величине длины образующей конуса (например, s’1’или s’7’). Задаемся положением т. 1 на этой дуге. Последовательно откладываем от нее столько одинаковых отрезков (хорд) на сколько частей разделена окружность основания конуса. Полученные на дуге точки 1, 2, …, 12, 1 соединяем с т. S. Сектор 1S1 представляет собой развертку боковой поверхности не усе-

ченного конуса. Пристроив к ней в нижней части (например, к т. 2) натуральную величину основания конуса в виде круга взятого с горизонтальной проекции мы

получим полную развертку не усеченного конуса.

Для построения развертки боковой поверхности усеченного конуса необходимо определить натуральную величину всех усеченных образующих. На

фронтальной проекции все точки сечения перенесем на очерковую образующую s’7’ линиями параллельными основанию конуса. Затем каждый отрезок образующей от т. 7’ до соответствующей точки сечения переносим на соответствующую образующую на развертке. Соединив эти точки на развертке, получим кривую линию, соответствующую линии сечения боковой поверхности ко-

Затем к линии сечения на развертке (например, к образующей S1) при-

страиваем эллипс натуральной величины сечения полученный на горизонтальной проецирующей плоскости Н.

Развертки поверхности геометрических тел представляют собой чертежи

– выкройки из бумаги и служат для выполнения макета фигуры.

Усеченный конус получается, если от конуса отсечь меньший конус плоскостью, параллельной основанию (рис. 8.10). В усеченном конусе два основания: "нижнее" - основание исходного конуса - и “верхнее" - основание отсекаемого конуса. По теореме о сечении конуса - основания усеченного конуса подобны.

Высотой усеченного конуса называется перпендикуляр, опущенный из точки одного основания на плоскость другого. Все такие перпендикуляры равны (см. п. 3.5). Высотой называют также их длину, т. е. расстояние между плоскостями оснований.

Усеченный конус вращения получается из конуса вращения (рис. 8.11). Поэтому его основания и все параллельные им его сечения - круги с центрами на одной прямой - на оси. Усеченный конус вращения получается вращением прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны, перпендикулярной основаниям, или вращением

равнобедренной трапеции вокруг оси симметрии (рис. 8.12).

Боковая поверхность усеченного конуса вращения

Это принадлежащая ему часть боковой поверхности конуса вращения, из которого он получен. Поверхность усеченного конуса вращения (или его полная поверхность) состоит из его оснований и его боковой поверхности.

8.5. Изображения конусов вращения и усеченных конусов вращения.

Прямой круговой конус рисуют так. Сначала рисуют эллипс, изображающий окружность основания (рис. 8.13). Затем находят центр основания - точку О и вертикально проводят отрезок РО, который изображает высоту конуса. Из точки Р проводят к эллипсу касательные (опорные) прямые (практически это делают на глаз, прикладывая линейку) и выделяют отрезки РА и РВ этих прямых от точки Р до точек касания А и В. Обратите внимание, что отрезок АВ - это не диаметр основания конуса, а треугольник АРВ - не осевое сечение конуса. Осевое сечение конуса - это треугольник АРС: отрезок АС проходит через точку О. Невидимые линии рисуют штрихами; отрезок ОР часто не рисуют, а лишь мысленно намечают, чтобы изобразить вершину конуса Р прямо над центром основания - точкой О.

Изображая усеченный конус вращения, удобно нарисовать сначала тот конус, из которого получается усеченный конус (рис. 8.14).

8.6. Конические сечения. Мы уже говорили, что боковую поверхность цилиндра вращения плоскость пересекает по эллипсу (п. 6.4). Также и сечение боковой поверхности конуса вращения плоскостью, не пересекающей его основание, является эллипсом (рис. 8.15). Поэтому эллипс называется коническим сечением.

К коническим сечениям относятся и другие хорошо известные кривые - гиперболы и параболы. Рассмотрим неограниченный конус, получающийся при продолжении боковой поверхности конуса вращения (рис. 8.16). Пересечем его плоскостью а, не проходящей через вершину. Если а пересекает все образующие конуса, то в сечении, как уже сказано, получаем эллипс (рис. 8.15).

Поворачивая плоскость ОС, можно добиться того, чтобы она пересекала все образующие конуса К, кроме одной (которой ОС параллельна). Тогда в сечении получим параболу (рис. 8.17). Наконец, вращая плоскость ОС дальше, переведем ее в такое положение, что а, пересекая часть образующих конуса К, не пересекает уже бесконечное множество других его образующих и параллельна двум из них (рис. 8.18). Тогда в сечении конуса К с плоскостью а получаем кривую, называемую гиперболой (точнее, одну ее "ветвь"). Так, гипербола, которая является графиком функции частный случай гиперболы - равнобочная гипербола, подобно тому как окружность является частным случаем эллипса.

Любые гиперболы можно получить из равнобочных с помощью проектирования, аналогично тому как эллипс получается параллельным проектированием окружности.

Чтобы получить обе ветви гиперболы, надо взять сечение конуса, имеющего две "полости", т. е. конуса, образованного не лучами, а прямыми, содержащими образующие боковой поверхности конуса вращения (рис. 8.19).

Конические сечения изучали еще древнегреческие геометры, и их теория была одной из вершин античной геометрии. Наиболее полное исследование конических сечений в древности было проведено Аполлонием Пергским (III в. до н.э.).

Имеется ряд важных свойств, объединяющих в один класс эллипсы, гиперболы и параболы. Например, ими исчерпываются "невырожденные", т. е. не сводящиеся к точке, прямой или паре прямых, кривые, которые задаются на плоскости в декартовых координатах уравнениями вида

Конические сечения играют важную роль в природе: по эллиптическим, параболлическим и гиперболическим орбитам движутся тела в поле тяготения (вспомните законы Кеплера). Замечательные свойства конических сечений часто используются в науке и технике, например, при изготовлении некоторых оптических приборов или прожекторов (поверхность зеркала в прожекторе получается вращением дуги параболы вокруг оси параболы). Конические сечения можно наблюдать как границы тени от круглых абажуров (рис. 8.20).

Сечение конуса плоскостью

Учитывая зависимость отположения секущей плоскости в сечении конуса вращения могут получиться различные линии, называемые линиями конических сечений.

В случае если секущая плоскость проходит через вершину конуса, в его сечении получается пара прямых – образующих (треугольник). В результате пересечения конуса плоскостью, перпендикулярной к оси конуса, получается окружность. В случае если секущая плоскость наклонена к оси вращения конуса и не проходит через ее вершину, в сечении конуса могут получиться эллипс (секущая плоскость пересекает всœе образующие конуса); парабола (секущая плоскость параллельна одной из образующих конуса) или гипербола (в данном случае секущая плоскость параллельна двум образующим конуса) исходя из угла наклона секущей плоскости (рис.39).

Рис. 39

Известно, что точка принадлежит поверхности, в случае если она принадлежит какой-либо линии этой поверхности. Для конуса графически наиболее простыми линиями являются образующие и окружности. Следовательно, в случае если по условию задачи требуется найти горизонтальные проекции точек, принадлежащих поверхности конуса, то нужно через точки провести одну из этих линий.

На рисунке 40 дан пример построения проекций линии сечения конуса фронтально проецирующей плоскостью, когда в сечении получается эллипс.

Для построения кривой линии, получаемой при пересечении конической поверхности плоскостью, в общем случае находят точки пересечения образующих конической поверхности с секущей плоскостью. Для этого можно поделить основание конуса на равное число частей (обычно 12), провести горизонтальные проекции образующих s1,s2,.... s12 и строят их фронтальные проекции. На фронтальной проекции отмечают фронтальные проекции точек пересечения построенных образующих с фронтальным следом секущей плоскости Q. Горизонтальные проекции строят в проекционной связи на соответствующих проекциях образующих. Профильная проекция линии сечения конуса плоскость Q построена по фронтальной и горизонтальной проекциям точек в проекционной связи.

1) Окружность (фиг.308,а), если секущая плоскость перпендикулярна оси вращения конуса;
2) Эллипс (фиг.308,б) - замкнутую кривую, если секущая плоскость наклонена к оси вращения и пересекает все образующие конуса;
3) Параболу (фиг.308,в) - незамкнутую кривую, если секущая плоскость параллельна какой-либо одной образующей конуса;
4) Гиперболу (фиг.308,г) - незамкнутую кривую, если секущая плоскость параллельна двум образующим конуса (в частности, когда секущая плоскость параллельна оси конуса);
5) Прямые (фиг.308,д), если секущая плоскость проходит через вершину конуса.
В третьем и четвертом случаях секущая плоскость не пересекает всех образующих конуса, вследствие чего кривая сечения будет разомкнутая.
1. Сечение прямого кругового конуса фронтально- проектирующей плоскостью, проходящей через вершину конуса по двум образующим (фиг.309).

Фронтально - проектирующая плоскость δ пересекает поверхность конуса по образующим SA и SB и хорде АВ основания конуса.
I. Фронтальная проекция S 2 A 2 и S 2 B 2 образующих представляет собой отрезки" совпадающие с фронтальной проекцией δ 2 ; фронтальная проекция хорды АВ является точкой В 2 = А 2 .
Горизонтальная проекция сечения изобразится равнобедренным треугольником A 1 S 1 B 1 сторонами которого будут проекции S 1 A 1 и S 1 B 1 образующих и основанием - проекция А 1 В 1 хорды.
II. Построение изометрической проекции усеченного конуса осуществляем в следующем порядке: строим изометрическую проекцию неусеченного конуса; на его основании проводим хорду АВ , пользуясь размером k . Точки А" и В" соединяем прямыми с вершиной S" . Обводим видимые и невидимые элементы соответствующими линиями и заштриховываем сечение.
фиг.310).

Горизонтальная плоскость уровня λ пересекает боковую поверхность конуса по окружности - параллели.
I. Фронтальная проекция фигуры сечения представляет собой отрезок, равный диаметру круга сечения D 1 совпадающий с фронтальной проекцией λ 2 . Горизонтальная проекция - круг.
II. Построение аксонометрической проекции (диметрии) усеченного конуса выполняется в следующем порядке.
II, а : на оси z" намечаем точку О" - центр основания и точку О" 1 - центр фигуры сечения на расстоянии, равном Н 1 . Приняв эти точки за центры, строим аксонометрические проекции основания и фигуры сечения - два овала, пользуясь размерами D и D 1 взятыми с горизонтальной проекции.
II, б. Проводим контурные образующие, обводим видимые и невидимые элементы соответствующими линиями и заштриховываем сечение.
фиг. 311).

I, а. Фронтальная проекция сечения выявлена отрезком A 2 В 2 , сливающимся с проекцией δ 2 и равным большой оси эллипса.
Горизонтальные проекции А 1 и В 1 концов отрезка лежат на горизонтальных проекциях контурных образующих, места которых определяются при помощи вертикальных линий связи.
Фронтальная проекция малой оси эллипса выявлена точкой С 2 = D 2 , находящейся на середине отрезка A 2 B 2 . Горизонтальные проекции C 1 и D 1 концов малой оси лежат на проекциях образующих S 1 K 1 и S 1 K , у которых расстояние между точками С 1 и D 1 равно малой оси эллипса. Точки А, В и С, D - концы осей, называются опорными (характерными).
I, б. Горизонтальные проекции промежуточных точек Е, F, N и ¯М определяются при помощи дополнительных образующих; так же как и проекции точек С, D .
I. в. Натуральная величина фигуры сечения - эллипс - найдена способом перемены плоскости проекций, причем достаточно найти только опорные точки А, В, С и D ; зная, что длина отрезка А 2 В 2 равна большой оси эллипса, а расстояние между точками C 1 D 1 - малой оси, можно построить эллипс (см.фиг.150).
II. Для получения развертки поверхности усеченного конуса строят развертку поверхности неусеченного конуса, затем на развертку боковой поверхности наносят параллели радиусами R, R 1 , R 2 , R 3 и R 4 и образующие, при помощи которых найдены опорные и промежуточные точки. Для этого делят участки дуг на горизонтальной проекции между точками К 2 1 и К 1 1 ; К 1 1 и К 0 1 ; К 0 1 и К 3 1 на более мелкие части.
Через точки пересечения образующих с соответствующими параллелями проводят кривую линию сечения. Пристроив к любой точке линии сечения, например к точке В , соответствующей точкой эллипс - сечение, получают развертку поверхности усеченного конуса.
III. При построении аксонометрической проекции (изометрия) можно придерживаться такого порядка:
III, а. Строят аксонометрическую проекцию основания конуса; в основании на оси х" отмечают точки А" 1 , II" 1 , О" 1 , IV" 1 ,В" 1 , пользуясь размерами, взятыми с горизонтальной проекции. На прямых, проведенных из точек А" 1 и B" 1 откладывают высоты этих точек.
Затем соединяют полученные точки А", В" прямой и на ней, путем проведения вертикальных прямых из точек II" 1 ,O" 1 , IV" 1 , получают точки II" 1 , О" 1 , IV" 1 .
Через точки II", О", IV" проводят прямые, параллельные оси y" и на них находят точки F" и Е", D" и С", N" и М" , пользуясь размерами, взятыми на горизонтальной проекции сечения.
Точки А", Е", С, M", В", N", D", F и А" соединяют последовательно кривой; проводят контурные образующие и обводят видимые и невидимые элементы.
.

I, а. Фронтальная проекция сечения выявлена отрезком, сливающимся с проекцией δ 2
Горизонтальную проекцию сечения находят при помощи параллелей.
На проекциях боковой поверхности конуса наносят проекции параллелей (например, трех), причем меньшая должна проходить через точку D 2 пересечения проекции δ 2 проекцией контурной образующей.
I, б. Проекция δ 2 пересекает проекции основания и параллелей в точках A 2 , В 2 , С 2 , D 2 и С 1 2 , В 1 2 , А 1 2 .
Пользуясь вертикальными линиями связи, находят горизонтальные проекции A 1 , B 1 , C 1 , D 1 и С 1 1 , В 1 1 , A 1 1 этих точек.
Проведенная плавная кривая через точки А 1 В 1 С 1 D 1 С 1 1 , В 1 1 и А 1 1 явится горизонтальной проекцией линии пересечения, а прямая А 1 А 1 1 - проекцией линии сечения основания конуса.
I, в. Фигуру сечения конуса возможно найти или способом перемены плоскостей проекции, или путем построения параболы по данной вершине D 1 и точкам А 1 А 1 1 , положение которых определяется по комплексному чертежу.
II. Построение развертки боковой поверхности аналогично приведенному в предыдущем примере. Для получения полной развертки пристраивают к соответствующей точке дуги сектора, например к точке IV круг - основание конуса; проводят хорду A 1 0 A 0 , пользуясь размером k , и пристраивают к этой хорде сечение.
III, а. Для построения аксонометрической проекции (изометрии) сначала строят аксонометрическую проекцию основания конуса, проводят на нем хорду A 1 1 A 1 , пользуясь размером k , и отмечают вторичные проекции точек В" 1 , C" 1 , D" 1 , C" 1 1 , B" 1 1 используя размеры x 1 , x 2 , х 3 и y 1 , y 2 . На вертикальных линиях, проведенных из этих точек, откладывают высоты z 1 , z 2 и z 3 , получают аксонометрические проекции точек параболы. Затем соединяют последовательно точки А" 1 , В", С 1 ", D", О", В 1 " и А 1 1 " плавной кривой и получают аксонометрическую проекцию параболы.
III. б. Потом проводят контурную образующую и обводят видимые и невидимые элементы.

Теорема (о сечении конуса). Если плоскость пересекает конус и параллельна плоскости его основания, то сечение конуса такой плоскостью подобно основанию конуса. Коэффициент их подобия равен отношению расстояния от вершины конуса до плоскости сечения к высоте конуса.

Напомним, что фигура F подобна фигуре F с коэффициентом , если можно так сопоставить их точки, что для любых точек X, Y фигуры F и соответствующих им точек XY фигуры F (рис. 8.5).

Пусть Р - вершина конуса К, фигура F - его основание, F - сечение конуса К плоскостью а, параллельной плоскости а основания F (рис. 8.6). Докажем, что фигуры F и F подобны. Для этого каждой точке сопоставим точку , в которой отрезок РХ пересекает плоскость а.

Проведем высоту РА конуса К и пусть А - точка, в которой высота РА пересекает плоскость а. Отрезок

РА является высотой конуса К, отсеченного плоскостью а.

Возьмем любые две точки X, Y основания F и пусть X, Y - соответствующие им точки F. Рассмотрим треугольники PXY и PXY. Они подобны, так как отрезки XY и XY параллельны (поскольку плоскость PXY пересекает параллельные плоскости а и а по параллельным прямым). Поэтому

При решении задач школьного курса геометрии рассматривают два вида сечений конуса плоскостью:

· сечения, перпендикулярные оси конуса – круги ;

· сечения, проходящие через вершину конуса – равнобедренные треугольники ;

Сечение конуса плоскостью, проходящей через его ось, называется осевым сечением .

Виды сечений конической поверхности плоскостью:

·
сечение, перпендикулярное оси конической поверхности – окружность ;

· сечение, параллельное одной из образующих – парабола т.е. ________________________________

· сечение, параллельное двум образующим – гипербола, т.е. множество точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух заданных точек плоскости есть величина постоянная.

· сечение, не перпендикулярное и не параллельное оси конической поверхности – эллипс .

· сечение, проходящее через две образующие – пара пересекающихся прямых ;

Докажем два утверждения.

Утверждение 2. Сечение конической поверхности, параллельное двум образующим конуса – гипербола.

Пусть плоскость α, параллельная двум образующим конуса, пересекает поверхность конуса по некоторой линии l . Докажем, что эта линия – гипербола.

Рассмотрим два равных шара, которые касаются боковой поверхности конуса и плоскости сечения. Пусть точки F 1 и F 2 – точки касания с плоскостью сечения. Через произвольную точку M линии l проведём образующую t . Пусть длина отрезка AA 1 этой образующей, заключённого между диаметральными плоскостями шаров, перпендикулярными образующим конуса, равна 2a . Тогда по свойству касательных, MF 1 =MA 1 , MF 2 = MA 2 , следовательно, |MF 1 –MF 2 |=|MA 1 –MA 2 =2a |, т.е. |MF 1 –MF 2 | = const , значит, линия l – эллипс.Š

Утверждение 3. Сечение конической поверхности, не перпендикулярное и не параллельное оси конической поверхности – эллипс .

Сделать чертёж и доказать самостоятельно.

2.4. Усечённый конус

Усечённым конусом называется часть конуса, расположенная между его основанием и секущей плоскостью, перпендикулярной оси конуса. Основание данного конуса и круг, полученный в сечении, называются основаниями усечённого конуса. Высотой усечённого конуса называется отрезок, соединяющий центры его оснований; боковой поверхностью – часть конической поверхности, расположенная между основаниями усечённого конуса. Отрезки образующих конической поверхности, расположенные между основаниями усечённого конуса называются его образующими .

Усечённый конус может быть получен путём вращения прямоугольной трапеции вокруг её боковой стороны, перпендикулярной к основаниям.

Теорема (о площади боковой поверхности усечённого конуса ). Площадь боковой поверхности усечённого конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на длину образующей: , где R и r – радиусы оснований, l – длина образующей.

Теорема (об объёме усечённого конуса ). Объём усечённого конуса, высота которого равна H , а радиусы оснований равны R и r , вычисляется по формуле
.

Сфера и шар

Теорема (о взаимном расположении сферы и плоскости ). Пусть d – расстояние от центра O сферы радиуса r до плоскости α. Тогда:

1) если d < r , то сечение сферы плоскостью α есть окружность с центром O 1 радиуса , где O 1 – проекция точки O на плоскость α;

2) если d = r , то сфера и плоскость имеют только одну общую точку;

3) если d > r , то сфера и плоскость не имеют общих точек.

1) Пусть d < r , плоскость a пересекает сферу W(O , r ) по какой-то лини L. Пусть точка M – произвольная точка линии L , тогда в треугольнике OO 1 M :

ÐOO 1 M =90° (OO 1 ^MO 1 , т.к. OO 1 ^a и MO 1 Ìa), катет MO 1 = . Значит, все точки линии L равноудалены от точки O 1 , следовательно, сечение сферы плоскостью a есть окружность с центром в точке O 1 и радиусом .

2) Пусть d = r . Расстояние от точки O до плоскости a меньше расстояния от точки O O 1 , значит, точка O 1 – единственная точка плоскости a, принадлежащая сфере.

3) Пусть d > r . Расстояние от точки O до любой точки плоскости a, отличной от точки O 1 , больше d . А d > r , значит, сфера и плоскость не имеют общих точек.Š

Следствие. Сечение шара плоскостью есть круг.

Плоскость, проходящая через центр сферы (шара), называется диаметральной плоскостью , а сечение этой плоскостью – большой окружностью (большим кругом ). Концы диаметра, перпендикулярного диаметральной плоскости, называются полюсами сферы .

Касательной плоскостью к сфере (шару) называется плоскость, имеющая со сферой (шаром) только одну общую точку. Она называется точкой касания . Прямая, лежащая в касательной плоскости сферы (шара) и проходящая через точку касания, называется касательной прямой к сфере (шару).

Теорема (признак касательной плоскости)

Теорема (о свойстве касательной плоскости)

Сферическим (шаровым) сегментом называется часть сферы (шара), отсекаемая плоскостью. Окружность (круг), по которой плоскость пересекает сферу (шар), называется основанием сферических (шаровых) сегментов , на которые плоскость разбивает сферу. Высотой сферического (шарового) сегмента называется длина отрезка диаметра, перпендикулярного основанию сегмента, расположенного между этим основанием и сферой. (На рисунке AF и BF – высоты соответствующих сферических (шаровых) сегментов).

Сферическим поясом (шаровым слоем ) называется часть сферы (шара), расположенная между двумя параллельными секущими плоскостями. Основаниями сферического пояса (шарового слоя) называются окружности (круги), которые получаются в сечении сферы (шара) этими плоскостями. Высотой сферического пояса (шарового слоя) называется расстояние между плоскостями. (На рисунке FE – высота сферического пояса (шарового слоя).)

Шаровым сектором называется геометрическое тело, полученное вращением кругового сектора с углом, меньшим 90°, вокруг прямой, содержащей один из ограничивающих круговой сектор радиусов. Шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса. Высотой шарового сектора называется высота соответствующего ему шарового сегмента. (На рисунке AB – высота шарового сектора).

Площадь сферического сегмента , где R – радиус сферы, h – высота сегмента.

Площадь сферического пояса , где R – радиус сферы, h – высота пояса.

Площадь сферы , где R – радиус сферы.

Объём шарового сектора , где R – радиус шара, h – высота сектора.

Объём шарового сегмента
, где R – радиус шара, h – высота сегмента.

Объём шара , где R – радиус шара.